（寒假）2024-2025学年高二数学寒假提升讲义+随堂检测 第10课 直线与圆、圆与圆的位置关系（教师版）.docx

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第

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第10课直线与圆、圆与圆的位置关系

一．直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交

二．直线与圆的位置关系判断

（1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系）

圆心到直线的距离，则：

直线与圆相交，交于两点，；

直线与圆相切；

直线与圆相离

（2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）

由，

消元得到一元二次方程，判别式为，则：

直线与圆相交；

直线与圆相切；

直线与圆相离．

三．两圆位置关系的判断

用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：

设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则：

两圆相交；

两圆外切；

两圆相离

两圆内切；

两圆内含（时两圆为同心圆）

设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示：

位置关系

相离

外切

相交

内切

内含

几何特征

代数特征

无实数解

一组实数解

两组实数解

一组实数解

无实数解

公切线条数

4

3

2

1

0

【解题方法总结】

关于圆的切线的几个重要结论

（1）过圆上一点的圆的切线方程为．

（2）过圆上一点的圆的切线方程为

（3）过圆上一点的圆的切线方程为

（4）求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解：

①所求切线一定有两条；

②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意．

题型一：直线与圆的位置关系的判断

例1．圆：与直线：的位置关系为（）

A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定

【答案】A

【解析】圆：的圆心为，半径，直线：即，则圆心到直线的距离，所以直线与圆相切.故选：A

例2．已知点为圆上的动点，则直线与圆的位置关系为（????）

A．相交 B．相离 C．相切 D．相切或相交

【答案】C

【解析】利用圆心距和半径的关系来确定直线与圆的位置关系.

由题意可得，于是，所以直线和圆相切.故选:C.

变式1．直线与圆的位置关系是（????）

A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定

【答案】A

【解析】已知直线过定点，将点代入圆的方程可得，

可知点在圆内，所以直线与圆相交.故选：A.

变式2．直线l：与曲线C：的交点个数为（????）

A．0 B．1 C．2 D．无法确定

【答案】B

【解析】曲线C：是圆心在上，半径的圆，则圆心与直线l的距离，

，曲线C与直线l相切，即只有一个交点，故选：B

【解题方法总结】

判断直线与圆的位置关系的常见方法

（1）几何法：利用d与r的关系．

（2）代数法：联立方程之后利用Δ判断．

（3）点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．

题型二：弦长与面积问题

例3．已知直线：与圆：交于A，B两点，则．

【答案】

【解析】由，故圆心，半径为，所以，圆心到直线的距离为，∴．故答案为：

例4．已知圆，直线与圆C相交于M，N两点，则．

【答案】

【解析】由，得，则圆的圆心为，半径，所以圆心到直线的距离为所以，解得.故答案为：.

变式3．圆心在直线上，与x轴相切，且被直线截得的弦长为的圆的方程为.

【答案】或

【解析】设所求圆的圆心为，半径为，圆与轴相切，，又圆心到直线的距离，，解得：或，所求圆的圆心为或，半径，圆的方程为或.

故答案为：或.

变式4．写出经过点且被圆截得的弦长为的一条直线的方程．

【答案】或

【解析】圆的方程可化为，圆心为，半径．当过点的直线的斜率不存在时，直线方程为，此时圆心在直线上，弦长，不满足题意，所以过点的直线的斜率存在，设过点的直线的方程为，即，则圆心到直线的距为，依题意，即，解得或，

故所求直线的方程为或．故答案为：或．

变式5．已知直线与圆交于A，B两点，若M是圆上的一动点，则面积的最大值是.

【答案】

【解析】，则圆C的圆心为，半径为，圆心C到直线l（弦AB）的距离为，则，则到弦AB的距离的最大值为，

则面积的最大值是.故答案为：.

【解题方法总结】

弦长问题

=1\*GB3①利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法．

=2\*GB3②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．

=3\*GB3③利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：．