函数的微分及其应用.pptVIP

*一、微分的定义引例一块正方形金属片受热后其边长x由x0变到x0?Dx?考查此薄片的面积A的改变情况.因为A?x2?所以金属片面积的改变量为DA?(x0?Dx)2?(x0)2?2x0Dx?(Dx)2?A=x02x0x0?x?xx0?xx0?x(?x)2当Dx?0时?(Dx)2?o(Dx)?DA的主要部分是Dx的线性函数2x0Dx?2x0Dx是DA的近似值?微分的定义设函数y?f(x)在某区间内有定义?x0及x0?Dx在这区间内?如果函数的增量Dy?f(x0?Dx)?f(x0)可表示为Dy?ADx?o(Dx)?其中A是不依赖于Dx的常数?o(Dx)是比Dx高阶的无穷小?那么称函数y?f(x)在点x0是可微的?而ADx叫做函数y?f(x)在点x0相应于自变量增量Dx的微分?记作dy?即dy?ADx?函数f(x)在点x0可微?函数f(x)在点x0可导?并且A?f?(x0)?可微与可导的关系y?f(x)在点x0可微?Dy?ADx?o(Dx)?dy=ADx?这是因为?一方面另一方面其中a?0(当Dx?0)?且A=f(x0)是常数?aDx?o(Dx)?,函数y?f(x)在任意点x的微分?称为函数的微分?记作dy或df(x)?即dy?f?(x)Dx?例如?dcosx?(cosx)?Dx??sinxDx?dex?(ex)?Dx?exDx?y?f(x)在点x0可微?Dy?ADx?o(Dx)?dy=ADx?可微与可导的关系函数f(x)在点x0可微?函数f(x)在点x0可导?并且A?f?(x0)?例1求函数y?x2在x?1和x?3处的微分?dy?(x2)?|x?1Dx?2Dx?函数y?x2在x?3处的微分为dy?(x2)?|x?3Dx?6Dx?例2求函数y?x3当x?2?Dx?0?02时的微分?y?f(x)在点x0可微?Dy?ADx?o(Dx)?dy=ADx?解函数y?x2在x?1处的微分为解先求函数在任意点x的微分?dy?(x3)?Dx?3x2Dx?再求函数当x?2?Dx?0?02时的微分?dy|x=2,Dx=0.02=3?22?0.02=0.24?=3x2|x=2,Dx=0.024、练习求函数 当从2变到1.99时的微分dy?f?(x)dx?因此?函数y?f(x)的微分又可记作dx?Dx?所以通常把自变量x的增量Dx称为自变量的微分?记作dx?即dy=dx=(x)?Dx=Dx?因为当y=x时?自变量的微分二、微分的几何意义当|Dx|很小时?|Dy?dy|比|Dx|小得多?因此?在点M的邻近?我们可以用切线段来近似代替曲线段?01Dy是曲线上点的纵坐标的增量;02dy是过点(x0?f(x0))的切线上点的纵坐标的增量.03当x从x0变到x0+Dx时?04三、基本微分公式与微分运算法则d(xm)?mxm?1dxd(sinx)?cosxdxd(cosx)??sinxdxd(tanx)?sec2xdxd(cotx)??csc2xdxd(secx)?secxtanxdxd(cscx)??cscxcotxdxd(ax)?axlnadxd(ex)?exdx(xm)??mxm?1(sinx)??cosx(cosx)???sinx(tanx)??sec2x(cotx)???csc2x(secx)??secxtanx(cscx)???cscxcotx(ax)??axlna(ex)?ex微分公式:导数公式:1.基本初等函数的微分公式导数公式:微分公式:2.函数和、差、积、商的微分法则公式d(u?v)?vdu?udv的证明?因为