可分离变量的微分方程.pptVIP

第二节可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程二、典型例题一、可分离变量的微分方程形如的方程，称为可分离变量的微分方程.分离变量，得：①设y=?(x)是方程①的解,则有恒等式：两边积分,得即：设函数G(y)和F(x)是g(y)和f(x)的一个原函数,②则有21当G(y)与F(x)可微且G(y)=g(y)?0时,称②为方程①的隐式通解,或通积分.由②确定的隐函数x=?(y)也是①的解.说明由②确定的隐函数y=?(x)是①的解.同样,当F(x)=f(x)?0时,上述过程可逆,4365一、可分离变量的微分方程形如的方程，称为可分离变量的微分方程.求解步骤：(变量分离法)1、分离变量,得2、两边积分,得3、求出通解隐函数确定的微分方程的解微分方程的隐式通解解得05两端积分,得04分离变量,得03解02例1求解微分方程01二、典型例题解分离变量,得两端积分,得解得例2求解微分方程解01.分离变量,得01.两端积分,得01.解得01.解根据题意,有(初始条件)对方程分离变量,即利用初始条件,得故所求铀的变化规律为然后积分:解根据牛顿第二定律,得初始条件为对方程分离变量,然后积分:得利用初始条件,得代入上式后化简,得特解例设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度成正比,并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,求降落伞下落速度与时间的函数关系.t足够大时01解02分离变量,03解得04然后积分:可分离变量的微分方程初值问题:01的解也可直接用变上限积分来确定：02两端积分——隐式通解.若是求特解，还需根据初值条件定常数.分离变量;分离变量法步骤:三、小结(1)找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法:1)根据几何关系列方程,2)根据物理规律列方程,3)根据微量分析平衡关系列方程.(2)利用反映事物个性的特殊状态确定初值条件.(3)求通解,并根据初值条件确定特解.3.解微分方程应用题的方法和步骤求方程的通解:01提示:02方程变形为03思考与练习练习题*