具有非齐次边界条件的问题.ppt

对于如下泊松方程的边值问题而言：*补充0102(P1)03思路104将问题(P)的解看成两部分，05令06和07分别满足08*(P1)(P2)和固有函数法分离变量法(或试探法)对于如下泊松方程的边值问题而言：补充(P)思路2令补充可用分离变量法或试探法求解问题(Q)对于如下泊松方程的边值问题而言：将泊松方程化成拉普拉斯方程找出此泊松方程的一个特解几种常见的固有函数系的形式*(1)(2)(3)(4)以上几种形式对于一维振动方程、热传导方程和矩形域上的泊松方程是适用的。圆域上的泊松方程对应的固有函数系为(5)小结固有函数法的解题步骤：小结1.将所考虑的定解问题的解按固有函数系展开2.将非齐次方程中的自由项也按固有函数系展开如果自由项已经含有固有函数的形式，可直接进入下一步。3.将步骤1、2中的形式代入非齐次方程中化简，并比较待定系数得到一个常微分方程4.将利用初值条件得到步骤3中常微分方程的附加条件。然后求解常微分方程的初值问题。注意：若是泊松方程则需借助有界性和边界条件2.5具有非齐次边界条件的问题*本节我们讨论带有非齐次边界条件的定解问题的求解方法。处理这类问题的基本原则是：无论方程是齐次的还是非齐次的，选取一个辅助函数的方法。（也可称为辅助函数法）我们以下面的问题为例，说明选取函数代换通过函数代换使得对于新的未知函数而言，边界条件是齐次的。考察定解问题：*(80)(81)(79)通过作一函数变换将边界条件化为齐次的，为此令(82)并选取辅助函数使新的未知函数满足齐次边界条件，即(83)由(80)(82)容易看出，要使(83)成立，只要(84)其实满足(84)中两个条件的函数是很多的，为了以后计算方便起见，通常取为的一次式，即设由条件(84)确定得01020304于是可得05因此，令0607则问题(79)-(81)可化成08的定解问题0901020304其中0506将问题(86)的解代入即得原定解问题问题(79)-(81)的解。我们就下列几种若边界条件不全是第一类的，也可采用类似方法非齐次边界条件的情况，分别给出相应辅助函数把非齐次边界条件化成齐次的。以上4种辅助函数的情形对热传导方程同样适用。的表达式：求解下列问题：*(87)例1(88)解选取辅助函数令则问题(87)化成010203应用固有函数法求问题(88)的解。04为此，设05利用节中推得公式(64)可知06再利用节中推得公式(62)可知再将01代入0203即得04把(90)代入(89)05可得06因此，原问题(87)的解为0701特别值得注意的是，对于给定的定解问题，02例如：03如果方程中的自由项04和边界条件中的05都与自变量06无关，07在这种情形下，我们可以选取08辅助函数09通过函数代换10使方程与边界条件同时化成齐次的。求解下列问题：*(91)例2解设问题的解为(92)将(92)代入问题(91)中的方程，即得为了将此方程化成齐次的，自然选取满足求解下列问题：*(91)例2解(92)再把(92)代入问题(91)中的定解条件，得为了将的边界条件也化成齐次，则满足这样由代换问题(91)化为下面两个问题：和代入问题(94)4(*)51问题(93)是一个常微分方程的边值问题，其解为2将求得的3利用公式*(*)010203其中系数04满足05那么其中系数计算可得030102因此，原问题(91)的解为*01于是，问题(94)的解为02求解下列问题：*(91)例2另解选取辅助函数令代入问题(91)得(*)由节的分析可设01而且02和03分别满足如下定解问题0405(II)06(*)07则问题(II)的解为利用2.1节中的公式(14)(15)可算得其中系数(II)为