湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期月考（四）数学试卷（解析版）.docxVIP

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数学

本试卷共8页.时量120分钟.满分150分

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.设集合，，则（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】解不等式可得集合，进而进行集合间的运算.

详解】由题意可得或，

则，

，

故选：B.

2.已知数列是等差数列，若，“”，“”，则是的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】利用等差数列的性质，结合充分性和必要性做出判断.

【详解】因为数列为等差数列，

当时，显然任意的，均满足，但不一定满足，

即“”推不出“”，必要性不成立；

由数列是等差数列，设该数列的公差为，若，

则

，

即“”能推出“”，充分性成立.

因此，是的充分不必要条件.

故选：A

3.已知是的重心，过点作一条直线与边分别交于点（点与所在边的端点均不重合），设，则的最小值是（）

A.1 B. C.2 D.4

【答案】B

【解析】

【分析】利用重心性质以及平面向量共线定理可得，再由基本不等式计算可得结果.

【详解】如图，取中点，则，

，

三点共线，，即，

，

当且仅当时，取等号.

即的最小值是.

故选：B

4.若，则（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据同角三角函数的关系化简，再根据二倍角公式求解即可.

【详解】方法一：

，

，解得.

故选：C.

方法二：，

.

故选：C.

5.已知为数列的前项和，且，若对任意正整数恒成立，则实数的最小值为（）

A.4 B. C.3 D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据的关系，利用相减法结合等比数列的定义求解数列的通项公式，从而将不等式转化为，利用数列的单调性求最值即可得实数的范围，从而得最小值.

【详解】由，令，解得，

当时，由得，即，

所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，

由，即恒成立，令，则，

而，所以，即数列单调递减，故，

所以，所以的最小值为.

故选：D.

6.在棱长为4的正方体中，分别是棱，的中点，过作平面，使得，则点到平面的距离是（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】设平面的一个法向量为，根据，由求得，再利用空间向量的距离公式求解.

【详解】解：如图所示：

以原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，

，

，

设平面一个法向量为，

，

，

则，令，则，

即为平面的一个法向量，

点到平面的距离.

故选：D

7.记表示中的最大数，若，，则的最小值为（）

A. B. C.2 D.3

【答案】C

【解析】

【分析】由，，分类讨论和两种情况，由不等式的性质和基本不等式可得最小值.

【详解】由，，分两种情况讨论：

①当时，则，

而，

可得至少有一个大于等于2，所以的最小值为2；

②当时，则，而，

可得至少有一个大于等于2，所以的最小值为2.

综上，可得的最小值为2.

故选：C

8.如图，过原点的直线交椭圆于两点，过点分别作轴、的垂线，且分别交椭圆于点，，连接交于点，若，则椭圆的离心率为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】设，则，由，共线，点在椭圆上，得坐标关系，联立求解即可.

【详解】设，则，

由，则，即，①

由三点共线，则，即，②

又因为，即，③

将①②代入③得，则.

故选：D.

二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）

9.已知函数，则（）

A.有两个极值点 B.有三个零点

C.点是曲线的对称中心 D.直线是曲线的切线

【答案】AC

【解析】

【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.

【详解】由题，，令得或，

令得，

所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确；

因，，，

所以，函数在上有一个零点，

当时，，即函数在上无零点，

综上所述，函数有一个零点，故B错误；

令，该函数的定义域为，，

则是奇函数，是的对称中心，

将的图象向上移动一个单位得到的图象，

所以点是曲线的对称中心，故C正确；

令，可得，又，

当切点为时，切线方程为，当切点为时，