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函数的零点

【教学目标】

1、了解函数零点的概念及函数零点的等价描述；

2、能利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的存在性及根

的个数；

3、理解判断函数零点存在性的结论并能研究简单的函数零点的存在性问题；

4、体现、感受并理解方程和函数图象在零点问题中的应用，渗透数形结合思想，

运用数形结合来研究和解决数学问题，并能应用从特殊到一般的数学方法去

探索和认识数学知识。

【教学重难点】

1、重点：理解零点的概念利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次

方程根的存在性及根的个数；应用函数零点存在性的结论研究函数零点

的存在问题

2、难点：理解判断函数零点的存在性的结论

【教学过程】

一、概念引入

请同学们一起来看投影上的问题

画出下列函数图象并指出x取何值时，y=0

1

(1)y=x+2(2)y=x2-2x-3(3)y=+1（图象保留）

x

处理：学生上黑板板书（上黑板画出图像并求出x值）

师：（1）所求x就是对应方程的实数根

（2）从图象上来看，我们所求的x就是什么？

师：这里所求的x就是我们今天要来研究的函数的零点

那么，什么是函数的零点呢？

二、概念认识

一般地，对于函数y=f（x），若f（x）=0则实数x称为该函数的零点

师：了解了函数零点的定义，同学们对函数零点有怎样的认识？

（1）等价描述：①函数y=f（x）的零点就是方程f（x）=0的实数根

②函数y=f（x）的零点就是它的图象与x轴交点的横坐标

（2）函数的零点是实数，不是点（板书）

师：认识了函数零点的定义后，请同学们来求下面几个函数的零点

练习1：求下列函数的零点

（投影展示）

归纳：求函数零点的步骤：（板书）

（1）令f（x）=0（2）解方程f（x）=0（3）写出零点

师：通过上面的研究我们认识了函数零点的定义，掌握了函数零点的求法

下面请同学们继续看例1的问题

三、应用例题

例1：求证：二次函数y=x+3x-22有两个不同的零点

练习2：（1）函数y=x+3x-k2没有零点，求k的取值范围

（2）函数y=x+kx+22有零点，求k的取值范围

（3）函数y=kx+3x-22有一个零点，求实数k的值

（投影展示）（看情况或学生回答）

师：由例1和练习2的研究，请大家总结一下

归纳：如何来判断二次函数y=ax+bx+c(a?0)2零点？

师：由上面的认识，我们可以通过判别式来判断二次函数零点的个数

那么二次函数零点具体的分布情况，我们如何来研究呢？请同学们继续

来看例2

例2：判断二次函数f(x)=x+3x-22在区间（0，1）上是否存在零点？

学生回答：法一）解方程

师：还有其它的想法吗？（引导）由刚才我们对函数零点的认识，函数零点除

了可以转化为的方程来研究，还可以从什么角度来研究啊？图象

在多媒体上展示图象？那么利用图象我们如何来研究例2呢？

学生回答（教师补充、完善）

师：一般地，我们如何来判断函数y=f（x）在区间（a，b）上存在零点？

图象展示（多媒体）

函数零点存在性判断的结论：一般地,若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象

是一条不间断的曲线，且f(a)gf(b)0，则函数y=f（x）在区间（a，b）上有

零点

师：判断函数y=f（x）在区间（a，b）上有零点的条件有几个？哪两个？

师：下面我们具体来认识一下这个结论

（1）函数图象是一条不间断的曲线（问题1（3））

（2）为什么要在闭区间[a，b]上是一条不间断的曲线

①为什么要连续曲线（开始练习（3）图象解释）

②为什么要在闭区间[a，b]上是一条不间断的曲线

师：认识了函数零点存在性判断的结