高一数学培优等式的性质与不等式的性质-讲义（教师版）.pdf

等式的性质与不等式的性质

学习目标

1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质；

2.掌握比较大小的常用方法；

3.了解不等关系证明的常用方法．

【备注】

相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系，是构建方程、不等式的基础．

本节重点：不等式的性质．

难点：比较大小的常用方法．

后置知识：基本不等式、一元二次不等式、函数．

【引入】

在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与

矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等．类似于这样的问题，反映在数量关系上，

就是相等与不等．相等用等式表示，不等用不等式表示．本节，我们就将在梳理等式性质的基础上，学

习掌握不等式的性质．

一、等式的性质

对称性：如果，那么；

传递性：如果，且，则；

可加性：如果，则；

可乘性：如果，则；

可除性：如果，，则．

经典例题

1.已知，，，那么．

【备注】三个线性等式中含有三个参数，我们可以通过换元法，去尝试求解参数的具体值．

【答案】

【解析】由，可得，由可得，

因此有，．

1

故答案为：．

【标注】【知识点】等式性质2

2.若，则．

【备注】

三个等式含有四个未知数，一般不能将四个未知数的具体值全部求出，同时本题中三

个分式的形式是高度对称的，不妨对其进行整式化，然后求和处理．另外，本题中

的情形，比较容易被忽略．

【答案】或

【解析】由，

可得，相加得，①若，则

；②若，则；综上的值为或．

【标注】【知识点】等式性质2

巩固练习

3.如果，则下列成立的等式是（）．

A.B.

C.D.

【答案】C

【解析】方法一：由题意得成立．

故选．

方法二：选项：，故错误；

选项：，，故错误；

选项：，故正确；

选项：，故错误．

故选．

【标注】【知识点】等式性质2

4.已知实数、、满足，有下列结论：

2

①若，则；

②若，则；

③若，则；

④若、、中只有两个数相等，则．

其中正确的是（把所有正确结论的序号都选上）．

【答案】①③④

【解析】

①∵，∴