高一数学培优对数运算与对数函数-讲义（教师版）.pdf

对数运算与对数函数

学习目标

1.理解对数的概念和运算性质，了解自然对数或常用对数，掌握换底公式的应用；

2.会画对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；

3.知道对数函数与指数函数互为反函数

【备注】

本节重点：对数的运算性质，换底公式，对数函数的图象与性质，对数函数的应用；

本节难点：换底公式，对数函数的应用；

前置知识：指数运算与指数函数．

一、对数和对数运算

1.对数的概念

（一）对数的定义与对数恒等式

一般地，如果（且）的次幂等于,即

,

那么就称是以为底的对数，记作

,

其中，叫做对数的底数，叫做底数的真数.

根据对数的定义，可以得到对数和指数间的关系：

当，时，.

由指数与对数的这个关系可以得到关于对数的如下结论：

①负数和没有对数；

②

③

④对数恒等式：由可得：，=

（二）常用对数和自然对数

通常将以为底的对数称为常用对数，为了方便起见，对数简记为.

在科学技术中，常常使用以为底的对数，这种对数称为自然对数.

是一个无理数，正数的自然对数一般简记为.

1

经典例题

1.若，则．

【备注】掌握对数计算的前提是对指数计算足够熟悉．

【答案】

【解析】

∵，即，∴．

【标注】【知识点】对数的运算

2.计算：．

【备注】常用对数和自然对数的计算．

【答案】．

【解析】

原式．

【标注】【知识点】对数的运算

巩固练习

3.计算：（）．

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【标注】【知识点】对数的运算

4.．

【答案】

【解析】，

．所以原式

．

2

【标注】【知识点】对数的运算

【素养】数学运算

2.对数的运算性质

根据指数幂的运算性质，我们可以得到对数的运算性质：

①积的对数等于对数的和：

推广：．

②商的对数等于对数的差：