《高等数学》第1章 函数与极限-教学课件（非AI生成）.pptx

高等数学;第一章;第一章;元素a属于集合M,记作;表示法：;;是B的子集,或称B包含A,;;二、映射;引例2.;定义4.;对映射;例1.;X(数集或点集);定义域;;例4.已知函数;2.函数的几种特性;(3)奇偶性;又如,;(4)周期性;3.反函数与复合函数;2)函数;;两个以上函数也可构成复合函数.;4.初等函数;非初等函数举例:;设函数;例6.求;内容小结;且;2.设函数;;;;例如,;例1.已知;例2.已知;例3.设;;例4.证明数列;2.收敛数列一定有界.;3.收敛数列具有保号性.;*********************;三、极限存在准则;1.夹逼准则(准则1)(P50);例5.证明;2.单调有界数列必有极限(准则2)(P52);例6.设;;根据准则2可知数列;*3.柯西极限存在准则(柯西审敛原理)(P55);内容小结;思考与练习;作业;故极限存在，;2.设;刘徽(约225–295年);柯西(1789–1857);;一、自变量趋于有限值时函数的极限;定义1.设函数;例1.证明;例2.证明;例3.证明;例4.证明:当;2.保号性定理;若取;定理2.若在;3.左极限与右极限;例5.给定函数;;例6.证明;;内容小结;;当;说明:;其中?为;二、无穷大;注意:;例.证明;三、无穷小与无穷大的关系;内容小结;;时,有;说明:无限个无穷小之和不一定是无穷小!;定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.;例1.求;二、极限的四则运算法则;推论:若;定理4.若;为无穷小;定理6.若;x=3时分母为0!;例5.求;例6.求;一般有如下结果：;三、复合函数的极限运算法则;定理7.设;例7.求;例8.求;内容小结;思考及练习;3.求;4.试确定常数a使;作业;备用题设;;一、函数极限与数列极限的关系及夹逼准则;定理1.;定理1.;例1.证明;2.函数极限存在的夹逼准则;圆扇形AOB的面积;注;例2.求;;2.;当;例6.求;例7.求;的不同数列;2.两个重要极限;思考与练习;;定义.;例如,当;例1.证明:当;例2.证明:;～;定理2.设;设对同一变化过程,;(3)因式代替规则:;例4.求;例5.证明:当;内容小结;2.等价无穷小替换定理;;可见,函数;continue;对自变量的增量;三角函数中常用公式;积化和差公式;例.证明函数;在;间断点分类:;为其无穷间断点.;;内容小结;思考与练习;P65题*8提示:;备用题确定函数;;定理2.连续单调递增函数的反函数也连续单调递增.;??理3.连续函数的复合函数是连续的.;例如,;例1.;二、初等函数的连续性;例2.求;例4.求;例5.设;内容小结;思考与练习;;注意:若函数在开区间上连续,;例如,;;定理3.(介值定理);;*三.一致连续性;例如,;内容小结;;则;备用题;;;2.特性;思考与练习;2.下列各种关系式表示的y是否为x的函数?为什么?;;4.设;5.已知;解:;二、连续与间断;有界定理;;有无穷间断点;例4.设f(x)定义在区间;;上连续,且恒为正,;上连续,且a?c?d?b,;三、极限;3.无穷小;例7.求下列极限：;令;;例8.确定常数a,b,使;例9.当;阅读与练习;2.求;作业

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9(2),(3),(6);

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