高一数学培优指数运算与指数函数-讲义（教师版）.pdf

指数运算与指数函数

学习目标

1.通过对有理数指数幂(，且；为整数，且)、实数指数幂(，且；

)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质；

2.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念；

3.会画指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．

【备注】

本节重点：有理数指数幂的运算，指数函数的图象与性质，指数函数的应用；

本节难点：指数函数的应用，指数型复合函数；

前置知识：整数指数幂的运算（初中），幂函数；

后置知识：对数运算与对数函数．

一、指数幂运算

1.次方根

一般地，如果一个实数满足（），那么称为的次实数方根.

若（），

当时，若,则，若,则;

当时，若,则，若,则在实数内无解!

我们规定：的次实数方根等于0．

其中，式子叫做根式，其中叫做根指数，叫做被开方数．

2.分数指数幂

一般地，我们规定，

（，，均为正整数），

这就是正数的正分数指数幂的意义.

我们规定（，，均为正整数），的正分数指数幂等于，的负分数指数幂

没有意义！

3.有理数指数幂

规定了分数指数幂的意义之后，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：

1

其中，.

4.实数指数幂

一般地，当且是一个实数时，也是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性质对实数指

数幂同样适用.

其中,.

【备注】

注：一般情况下，我们以分数指数幂表示最终运算结果.

经典例题

1.

化简的值等于．

【备注】

化为同底数幂，是指数幂运算中化简求值常用的基本技巧.

【答案】

【解析】

【标注】【知识点】实数指数幂运算

2.

计算：．

【备注】

指数幂的求值运算，细心计算即可.

【答案】．

【解析】

原式

．

故答案为：．

2

【标注】【知识点】实数指数幂运算

3.已知，其中，求．

【备注】

形如的式子，可通过平方再加减常数，来建立彼此之

间的联系，