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与圆有关的6种模型

（四点共圆、圆幂定理、垂径定理、定弦定角、定角定高、阿基米德折弦定理）

题型01四点共圆

1.四点共圆的判定

判定方法

图形

证明过程

若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆（圆的定义）.

适用范围：题目出现共端点，等线段时，可利用圆的定义构造辅助圆.

到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上（圆的定义）

若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个点共圆.

反证法

若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆.

反证法

同侧共边三角形且公共边所对角相等的四个顶点共圆.

反证法

共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆.

适用范围：双直角三角形共斜边模型.

连接AO、OD

根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得AO=BO=CO=DO

∴点A、B、C、D四点共圆

在⊙O中，若弦AB、CD相交于点P,且AP?DP=BP?CP，则A,B,C,D四点共圆（相交弦定理的逆定理）

在△APB和△CPD中

AP?DP=BP?CP

∠3=∠4

∴△APB∽△CPD∴∠1=∠2

则A、B、C、D四点共圆

在⊙O中，若AB、CD两线段延长后相交于点P,且AP?BP=DP?CP，则A,B,C,D四点共圆（割线定理）

在△APC和△DPB中

AP?BP=CP?DP

∠P=∠P∴△APC∽△DPB

∴∠1=∠3而∠2+∠3=180°

∴∠1+∠2=180°

则A、B、C、D四点共圆

若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆(托勒密定理的逆定理).

【扩展】

托勒密定理：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.

证明:过点C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，

∴△ACD∽△BCP.∴ACBC

∵∠1=∠2∴∠1+∠ACP=∠2+∠ACP则∠ACB=∠DCP而∠5=∠6

∴△ACB∽△DCP.∴ACCD

①+②得AC(BP+DP)=AB·CD+AD·BC.即AC·BD=AB·CD+AD·BC

2.四点共圆的性质

1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；

2）圆内接四边形的对角互补；

3)圆内接四边形的外角等于内对角.

1．如图放置的两个正方形，大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b（a＞b），M在BC边上，且BM＝b，连接AM，MF，MF交CG于点P，将△ABM绕点A旋转至△ADN，将△MEF绕点F旋转至△NGF．给出以下五个结论：①∠AND＝∠MPC；②CP=b-b2a；③△ABM≌△NGF；④S四边形AMFN

A．2 B．3 C．4 D．5

2．如图，Rt△ABC中，AB=AC=122，Rt△ADE中，AD=AE=62，直线BD与CE交于P，当∠EAD绕点A任意旋转的过程中，P到直线

如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝1，AE⊥AD，交BC于点E，EA平分∠BED．

（1）CD的长是；

（2）当点F是AC中点时，四边形ABCD的周长是．

如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂足为E，CF⊥AB于点F，直线CF与直线BD于点G．

（1）若点G在⊙O内，如图1，求证：G和D关于直线AC对称；

（2）连接AG，若AG=BC，且AG与⊙O相切，如图2，求∠ABC的度数．

在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题：

如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（60°α180°）．点D是BC边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转α到线段AE，连接

(1)求证：A，E，B，D四点共圆；

(2)如图2，当AD=CD时，⊙O是四边形AEBD的外接圆，求证：AC是⊙O的切线；

(3)已知α=120°，BC=6，点M是边BC的中点，此时⊙P是四边形AEBD的外接圆，直接写出圆心P与点M

阅读下列材料，并完成相应的任务．

西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）．

某数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理．

如图（1），已知△ABC内接于⊙O，点P在⊙O上（不与点A，B，C重合），过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为．点D，E，F求证：点D，E，F在同一条直线上．

如下是他们的证明过程（不完整）：

如图（1），连接PB，PC，DE，EF，取PC的中点Q，连接QE，QF，则EQ=FQ=1

∴点E，F，P，C四点共圆，∴∠FCP+∠FEP=180°．（依据2）

又∵∠ACP+∠ABP=180°，

∴∠FEP=∠AB