（寒假）2024-2025学年高二数学寒假提升讲义+随堂检测 第02课 平面向量的数量积及其应用（原卷版）.docx

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第02课平面向量的数量积及其应用

知识点一．平面向量的数量积

（1）平面向量数量积的定义

已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．

（2）平面向量数量积的几何意义

①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0．

②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积．

③设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为．

知识点二．数量积的运算律

已知向量、、和实数，则：

①；

②；

③．

知识点三．数量积的性质

设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则

①．②．

③当与同向时，；当与反向时，．

特别地，或．

④．⑤．

知识点四．数量积的坐标运算

已知非零向量，，为向量、的夹角．

结论

几何表示

坐标表示

模

数量积

夹角

的充要

条件

的充要

条件

与

的关系

（当且仅当时等号成立）

知识点五、向量中的易错点

（1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且．

（2）当时，由不能推出一定是零向量，这是因为任一与垂直的非零向量都有．

当时，且时，也不能推出一定有，当是与垂直的非零向量，是另一与垂直的非零向量时，有，但．

（3）数量积不满足结合律，即，这是因为是一个与共线的向量，而是一个与共线的向量，而与不一定共线，所以不一定等于，即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项．

（4）非零向量夹角为锐角（或钝角）．当且仅当且（或，且

【解题方法总结】

（1）在上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0．

（2）数量积的运算要注意时，，但时不能得到或，因为时，也有．

（3）根据平面向量数量积的性质：，，等，所以平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题．

（4）若、、是实数，则（）；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量、、满足（），则不一定有，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．

（5）数量积运算不适合结合律，即，这是由于表示一个与共线的向量，表示一个与共线的向量，而与不一定共线，因此与不一定相等．

题型一：平面向量的数量积运算

例1．已知向量，满足，且与的夹角为，则（????）

A．6 B．8 C．10 D．14

例2．已知菱形ABCD的边长为1，，G是菱形ABCD内一点，若，则（??）

A． B．1 C． D．2

?变式1．已知单位向量，且，若，，则（???）

A．1 B．12 C．或2 D．或1

变式2．将向量绕坐标原点顺时针旋转得到，则（????）

A．B．C．D．

变式3．如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（????）.

??A． B． C． D．

【解题方法总结】

（1）求平面向量的数量积是较为常规的题型，最重要的方法是紧扣数量积的定义找到解题思路．

（2）平面向量数量积的几何意义及坐标表示，分别突出了它的几何特征和代数特征，因而平面向量数量积是中学数学较多知识的交汇处，因此它的应用也就十分广泛．

（3）平面向量的投影问题，是近几年的高考热点问题，应熟练掌握其公式：向量在向量方向上的投影为．

（4）向量运算与整式运算的同与异（无坐标的向量运算）

同：；；公式都可通用

异：整式：，仅仅表示数；向量：（为与的夹角）

，使用范围广泛，通常是求模或者夹角．

，通常是求最值的时候用．

题型二：平面向量的夹角

例3．若单位向量，满足，则向量，夹角的余弦值为____________．

例4．若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角大小为________.

变式4．若向量与不共线也不垂直，且，则向量夹角________.

变式5．已知向量，满足，，，则向量与的夹角大小为___________.

变式6．已知向量，，，则向量与的夹角为______．

【解题方法总结】

求夹角，用数量积，由得，进而求得向量的夹角．

题型三：平面向量的模长

例5．已知平面向量，，满足，，且.若，则（????）

A． B． C． D．

例6．已知，是非零向量，，，向量在向量方向上的投影为，则________.

变式7．已知为单位向量，且满足，则______.

变式8．已知向量满足，，则______．

变式9．已知点O为坐标原点，，，点P在线段AB上，且，则点P的坐标为______．

【解题方法总结】

求模长，用平方，．

题型四：平面向量的投影、投影向量

例7．