（寒假）2024-2025学年高二数学寒假提升讲义+随堂检测 第08课 极值与最值（教师版）.docx

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第08课极值与最值

知识点一：极值与最值

1、函数的极值

函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点．

求可导函数极值的一般步骤

（1）先确定函数的定义域；

（2）求导数；

（3）求方程的根；

（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值．

注：①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号．

②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点．

2、函数的最值

函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．

导函数为

（1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．

（2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．

一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：

（1）求在内的极值（极大值或极小值）；

（2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．

注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；

②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；

③函数的最值必在极值点或区间端点处取得．

【解题方法总结】

（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则

不等式在区间D上恒成立；

不等式在区间D上恒成立；

不等式在区间D上恒成立；

不等式在区间D上恒成立；

（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则

不等式在区间D上恒成立．

不等式在区间D上恒成立．

（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：

不等式在区间D上有解；

不等式在区间D上有解；

不等式在区间D上有解；

不等式在区间D上有解；

（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：

不等式在区间D上有解

不等式在区间D上有解

（5）对于任意的，总存在，使得；

（6）对于任意的，总存在，使得；

（7）若存在，对于任意的，使得；

（8）若存在，对于任意的，使得；

（9）对于任意的，使得；

（10）对于任意的，使得；

（11）若存在，总存在，使得

（12）若存在，总存在，使得．

题型一：求函数的极值与极值点

例1.若函数存在一个极大值与一个极小值满足，则至少有（????）个单调区间.

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【解析】若函数存在一个极大值与一个极小值，则至少有3个单调区间，

若有3个单调区间，不妨设的定义域为，若，其中可以为，可以为，

则在上单调递增，在上单调递减，（若定义域为内不连续不影响总体单调性），故，不合题意，

若，则在上单调递减，在上单调递增，有，不合题意；

若有4个单调区间，

例如的定义域为，则，令，解得或，

则在上单调递增，在上单调递减，

故函数存在一个极大值与一个极小值，且，满足题意，此时有4个单调区间，综上所述：至少有4个单调区间.故选：B.

变式1.已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（????）

A．

B．函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值

C．函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值

D．函数的最小值为

【答案】C

【解析】由题图可知，当时，，所以函数在上单调递增，又abc，所以，故A不正确．因为，，且当时，；当cxe时，；

当xe时，．所以函数在x＝c处取得极大值，但不一定取得最大值，在x＝e处取得极小值，不一定是最小值，故B不正确，C正确．由题图可知，当时，，所以函数在[d，e]上单调递减，从而，所以D不正确．故选：C．

变式2.已知函数．

(1)证明：当时，有唯一的极值点为，并求取最大值时的值；

(2)当时，讨论极值点的个数．

【解析】（1）证明：当，时，，可得的定义域为，

且，令，解得，

当时，，单调递减；当时，，单调递增，

所以当时，有唯一的极小值，即有唯一的极值点为，

由，

令，设，可得，由，解得，

当时，，单调递增；当时，，单调递减，

所以当，即时，有唯一的极大值，即取得最大值，

所以当的最大值时，.

（2）当时，的定义域为，且，

①当时，时恒成立，此