（寒假）2024-2025学年高二数学寒假提升讲义+随堂检测 第12课 圆锥曲线离心率问题（教师版）.docx

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第12课圆锥曲线离心率问题

求离心率范围的方法

一、建立不等式法：

1、利用曲线的范围建立不等关系．

2、利用线段长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，；为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，．

3、利用角度长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，若，则椭圆离心率的取值范围为．

4、利用题目不等关系建立不等关系．

5、利用判别式建立不等关系．

6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．

7、利用基本不等式，建立不等关系．

二、函数法：

1、根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；

2、通过确定函数的定义域；

3、利用函数求值域的方法求解离心率的范围．

三、坐标法：

由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系．

题型一：建立关于和的一次或二次方程与不等式

例1．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆与双曲线共焦点，双曲线实轴的两顶点将椭圆的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则双曲线的离心率为（????）

A． B．2 C． D．

【答案】C

【解析】设双曲线的实半轴长为a，由双曲线实轴的两顶点将椭圆的长轴三等分，可得椭圆的长半轴为3a，半焦距为c，设P为椭圆与双曲线在第一象限的交点，设，，则，可得，由题意P在以为直径的圆上，所以，所以可得，即离心率，故选：C.

例2．已知双曲线的左顶点为A，右焦点为，过点A的直线l与圆相切，与C交于另一点B，且，则C的离心率为（????）

A．3 B． C．2 D．

【答案】A

【解析】显然圆的圆心为，半径为，令直线l与圆相切的切点为，连接，

则，有，而，又，因此，解得，

所以双曲线C的离心率为.故选：A

变式1．已知右焦点为的椭圆：上的三点，，满足直线过坐标原点，若于点，且，则的离心率是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设椭圆左焦点为，连接，，，设，，结合椭圆对称性得，由椭圆定义得，，则.因为，，

则四边形为平行四边形，则，而，故，则，即，整理得，在中，，即，即，∴，故.故选：A

变式2．双曲线的左焦点为F，直线与双曲线C的右支交于点D，A，B为线段的两个三等分点，且（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为.

【答案】.

【解析】由题意得，取中点，连接，设双曲线C的右焦点为，连接，因为，所以，又A，B为线段的两个三等分点，所以，即为的中点，又为的中点，所以，故，设，则，又，

由勾股定理得，则，由双曲线定义得，即①，在Rt中，由勾股定理得，即②，由①得，两边平方得，解得或（负值舍去），

将代入②得，故离心率为.

故答案为：

题型二：圆锥曲线第一定义

例3．已知分别为双曲线的左、右焦点，过原点的直线与交于两点（点A在第一象限），延长交于点，若，则双曲线的离心率为．

【答案】

【解析】由题意关于原点对称，又也关于原点对称，所以四边形是平行四边形，所以，所以为等边三角形，则，则，由双曲线的定义，得，所以，则．故答案为：．

例4．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为上关于坐标原点对称的两点，且，且四边形的面积为，则的离心率为．

【答案】.

【解析】因为点为上关于坐标原点对称的两点，且，所以四边形为矩形，即，

所以，由椭圆定义与勾股定理知：，所以，所以，所以，即C的离心率为．故答案为：

变式3．已知椭圆的上、下焦点分别为、，焦距为，与坐标轴不垂直的直线过且与椭圆交于、两点，点为线段的中点，若，则椭圆的离心率为．

【答案】.

【解析】因为点为线段的中点，，则，所以，为等腰直角三角形，

设，则，

由椭圆的定义可得，所以，，

所以，，由勾股定理可得，

即，整理可得，因此，该椭圆的离心率为.

故答案为：.

变式4．已知，分别为双曲线Ε：的左、右焦点，过原点O的直线l与E交于A，B两点（点A在第一象限），延长交E于点C，若，，则双曲线E的离心率为（????）

A． B．2 C． D．

【答案】A

【解析】结合双曲线的对称性可知，，，所以为等边三角形，则，则.由双曲线的定义，得，所以，，则.故选：A

题型三：圆锥曲线第二定义

例5．已知双曲线的左、右焦点分别为，为左支上一点，到左准线的距离为，若、、成等比数列，则其离心率的取值范围是（????）

A．， B．， C．， D．，

【答案】D

【解析】，，即①，又②．

由①②解得：，，又在焦点三角形中：，

即：，即，解得：，又，，故选：D．

题型四：圆锥曲线第三定义（斜率之积）

例6．已知椭圆：的上顶点为，两个焦点为，，线段的垂直平分线过点，则椭圆的离心率为．

【答案】

【解析】如图，设的垂直平分线与交