（寒假）2024-2025学年高二数学寒假提升讲义+随堂检测 第12课 圆锥曲线离心率问题（原卷版）.docx

第

第PAGE1页共NUMPAGES86页

第12课圆锥曲线离心率问题

求离心率范围的方法

一、建立不等式法：

1、利用曲线的范围建立不等关系．

2、利用线段长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，；为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，．

3、利用角度长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，若，则椭圆离心率的取值范围为．

4、利用题目不等关系建立不等关系．

5、利用判别式建立不等关系．

6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．

7、利用基本不等式，建立不等关系．

二、函数法：

1、根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；

2、通过确定函数的定义域；

3、利用函数求值域的方法求解离心率的范围．

三、坐标法：

由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系．

题型一：建立关于和的一次或二次方程与不等式

例1．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆与双曲线共焦点，双曲线实轴的两顶点将椭圆的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则双曲线的离心率为（????）

A． B．2 C． D．

例2．已知双曲线的左顶点为A，右焦点为，过点A的直线l与圆相切，与C交于另一点B，且，则C的离心率为（????）

A．3 B． C．2 D．

变式1．已知右焦点为的椭圆：上的三点，，满足直线过坐标原点，若于点，且，则的离心率是（????）

A． B． C． D．

变式2．双曲线的左焦点为F，直线与双曲线C的右支交于点D，A，B为线段的两个三等分点，且（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为.

题型二：圆锥曲线第一定义

例3．已知分别为双曲线的左、右焦点，过原点的直线与交于两点（点A在第一象限），延长交于点，若，则双曲线的离心率为．

例4．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为上关于坐标原点对称的两点，且，且四边形的面积为，则的离心率为．

变式3．已知椭圆的上、下焦点分别为、，焦距为，与坐标轴不垂直的直线过且与椭圆交于、两点，点为线段的中点，若，则椭圆的离心率为．

变式4．已知，分别为双曲线Ε：的左、右焦点，过原点O的直线l与E交于A，B两点（点A在第一象限），延长交E于点C，若，，则双曲线E的离心率为（????）

A． B．2 C． D．

题型三：圆锥曲线第二定义

例5．已知双曲线的左、右焦点分别为，为左支上一点，到左准线的距离为，若、、成等比数列，则其离心率的取值范围是（????）

A．， B．， C．， D．，

题型四：圆锥曲线第三定义（斜率之积）

例6．已知椭圆：的上顶点为，两个焦点为，，线段的垂直平分线过点，则椭圆的离心率为．

变式5．已知双曲线与直线相交于，两点，点为双曲线上的一个动点，记直线，的斜率分别为，，若，且双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离为1，则双曲线的离心率为．

题型五：利用正弦定理

例7．过椭圆的左、右焦点，作倾斜角分别为和的两条直线，．若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为（????）

A．B．C．D．

例8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点（异于长轴的端点），使得，则该椭圆离心率的取值范围是______．

变式6．已知椭圆与双曲线共焦点，F1、F2分别为左、右焦点，曲线与在第一象限交点为，且离心率之积为1.若，则该双曲线的离心率为.

题型六：利用余弦定理

例11．已知双曲线的左、右焦点分别为，P是C右支上一点，线段与C的左支交于点M．若，且，则的离心率为．

例12．椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为A，直线与椭圆C交于另一点B，若，则椭圆C的离心率为．

变式7.已知是椭圆的左，右焦点，上两点满足，则的离心率为．

变式8.已知双曲线的离心率为2，左、右顶点分别为，右焦点为，点在的右支上，且满足，则（????）

A． B．1 C． D．2

题型七：内切圆问题

例13.双曲线其左、右焦点分别为，倾斜角为的直线与双曲线H在第一象限交于点P，设内切圆半径为r，若，则双曲线H的离心率的取值范围为.

例14．已知椭圆的左?右焦点分别为?，P为椭圆上一点（异于左右顶点），的内切圆半径为r，若r的最大值为，则椭圆的离心率为.

圆锥曲线离心率问题随堂检测

1.已知双曲线的左、右焦点分别为，过斜率为的直线与的右支交于点，若线段恰被轴平分，则的离心率为（????）

A． B． C．2 D．3

2.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，且，直线与交于另一点，与轴交于点，若，则