（寒假）2024-2025年高二数学 寒假巩固讲义+随堂检测 第09课 圆锥曲线中的最值、定点、定值问题（原卷版）.docx

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第09课圆锥曲线中的最值、定点、定值问题

题型一与线段、周长有关的最值问题

【例1】若P，Q分别是抛物线与圆上的点，则的最小值为________．

【变式1-1】已知抛物线的焦点为，点，为抛物线上一动点，则周长的最小值为______.

题型二与面积有关的最值问题

【例2】已知椭圆经过点，且椭圆的长轴长为．

(1)求椭圆的方程；

(2)设经过点的直线与椭圆相交于、两点，点关于轴的对称点为，直线与轴相交于点，求的面积的取值范围．

题型三与向量有关的最值问题

【例3】在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别、焦距为2，且与双曲线共顶点．P为椭圆C上一点，直线交椭圆C于另一点Q．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若点P的坐标为，求过P、Q、三点的圆的方程；

(3)若，且，求的最大值．

圆锥曲线中的定值问题

题型五圆锥曲线中面积为定值问题

【例5】已知圆，点，是圆上一动点，若线段的垂直平分线与线段相交于点．

(1)求点的轨迹方程；

(2)已知为点的轨迹上三个点（不在坐标轴上），且，求的值．

题型六圆锥曲线中线段为定值问题

【例6】已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点到渐近线的距离为2.

(1)求双曲线的标准方程；

(2)设为双曲线的右顶点，直线与双曲线交于不同于的，两点，若以为直径的圆经过点且于，证明：存在定点，使得为定值.

【变式6-1】已知椭圆C：的离心率为，且过点．

（1）求的方程：

（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．

圆锥曲线中的最值、定点、定值问题随堂检测

1.已知抛物线C：（p＞0），抛物线C的焦点为F，点P在抛物线上，且的最小值为1．

(1)求p；

(2)设O为坐标原点，A，B为抛物线C上不同的两点，直线OA，OB的斜率分别为，，且满足，求｜AB｜的取值范围．

2.设椭圆经过点M，离心率为.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)设椭圆E的右顶点为A，过定点且斜率不为0的直线与椭圆E交于B，C两点，设直线AB，AC与直线的交点分别为P，Q，求面积的最小值.

3.已知双曲线C的渐近线方程为，且过点.

(1)求C的方程；

(2)设，直线不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线与C交于另一点D，求证：直线过定点.