高中数学同步精品讲义：乘法公式与全概率公式.docxVIP

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乘法公式与全概率公式

TOC\o1-3\h\u题型1乘法公式及其应用 2

题型2全概率公式 5

题型3贝叶斯公式 11

知识点一.乘法公式：条件概率公式的变形公式

公式P(B|A)＝揭示了P(A)，P(B|A)与P(AB)的关系，常常用于知二求一中，即可熟练应用它的变形式公．如：若P(A)≠0，则P(AB)＝P(A)·P(B|A)，该式称为概率的乘法公式．

知识点二.全概率公式

1.

2.一般地,设A1,A2,…,An是一组①两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B?Ω,有P(B)=②?P(Ai)P(B|Ai).我们称此公式为全概率公式.

知识点三.贝叶斯公式

设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B?Ω,P(B)0,有P(Ai|B)=?=?,i=1,2,…,n.

全概率公式的直观解释:已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i=1,2,…,n),事件B

发生的可能性,就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B

发生的可能性的乘积之和.

全概率公式的主要作用是“由原因推测结果”.

题型1乘法公式及其应用

【方法总结】概率的乘法公式

公式P（AB）=P（A）P（B|A）反映了知二求一的方程思想.

分清P（A），P（A|B），直接利用公式P（AB）=P（A）P（B|A）即可.

注意：乘法公式说明，根据事件A发生的概率，以及已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，可以求出A与B同时发生的概率.

【例题1】（2021·全国·高二专题练习）某人从15米高的楼层把一个成熟的椰子扔向地面，第一次未摔裂的概率为0.4，当第一次未摔裂时第二次也未摔裂的概率为0.3，则这个椰子从15米高的楼层扔向地面两次后仍未摔裂的概率是___________.

【答案】0.12

【分析】根据题意利用概率公式即可求出.

【详解】设Ai表示第i次扔向地面椰子没有摔裂，i=1，2，则PA

因此，PA

故这个椰子从15米高的楼层扔向地面两次后仍未摔裂的概率为0.12.

故答案为：0.12.

【变式1-1】1．（2022·山东·青岛二中高二阶段练习）已知随机事件A，B有概率PA=0.7，PB=0.6，条件概率

【答案】0.82

【分析】根据条件概率公式计算即可.

【详解】∵PB=0.6，∴PB

由乘法公式得PA

∴PA

故答案为：0.82.

【变式1-1】2．（2022·湖南·高二课时练习）对某批手机玻璃屏成品作抗摔试验时，发现手机屏第一次落地时打破的概率为12；若第一次落地未打破，则第二次落地打破的概率是710；若前两次未打破，则第三次落地打破的概率是

【答案】3

【分析】设Aii=1,2,3

【详解】解：设Aii=1,2,3表示事件“手机玻璃屏第i次落地打破”，以B表示事件“手机玻璃屏落下三次未打破”，P

所以手机屏落地三次未打破的概率为3200

【变式1-1】3．（2022·湖南·高二课时练习）某人忘记了电话号码的最后一位数字，因而他随意地拨号．求他拨号不超过三次而接通电话的概率．若已知最后一位数字是奇数，那么此概率又是多少？

【答案】310，

【分析】根据概率的加法和乘法公式进行求解即可.

【详解】[解]设Ai＝“第i次接通电话”，i＝1，2，3，B＝“拨号不超过3次接通电话”，

则事件B的表达式为B=A1∪A

【变式1-1】4．（2022·全国·高三专题练习）两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍．

(1)求任意取出1个零件是合格品的概率；

(2)如果任意取出的1个零件是废品，求它是第二台车床加工的概率．

【答案】(1)7375

【分析】（1）设Ai

（2）同（1），结合条件概率的公式求解即可.

（1）设Ai表示“第i台机床加工的零件”（i＝1，2）；B表示“出现废品”；C表示“出现合格品”．PC=

（2）PA

【变式1-1】5．（2022·天津·高考真题）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为____________；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为____________

【答案】????1221????

【分析】由题意结合概率的乘法公式可得两次都抽到A的概率，再由条件概率的公式即可求得在第一次抽到A的条件下，第二次抽到A的概率.

【详解】由题意，设第一次抽到A的事件为B,第二次抽到A的事件为C,

则P(

故答案为：1221；1

【变式1-