《高等数学》第12章 无穷级数-教学课件（非AI生成）.ppt

*为正弦级数.内容小结1.周期为2l的函数的傅里叶级数展开公式(x?间断点)其中当f(x)为奇函数时,(偶)(余弦)2.在任意有限区间上函数的傅里叶展开法变换延拓3.傅里叶级数的复数形式利用欧拉公式导出*思考与练习1.将函数展开为傅里叶级数时为什么最好先画出其图形?答:易看出奇偶性及间断点,2.计算傅里叶系数时哪些系数要单独算?答:用系数公式计算如分母中出现因子n－k作业:P3191(1),(3);2(2);*3从而便于计算系数和写出收敛域.必须单独计算.习题课*备用题期的傅立叶级数,并由此求级数(1991考研)解:为偶函数,因f(x)偶延拓后在展开成以2为周的和.故得*得故*习题课级数的收敛、求和与展开三、幂级数和函数的求法四、函数的幂级数和傅式级数展开法一、数项级数的审敛法二、求幂级数收敛域的方法第十二章*求和展开(在收敛域内进行)基本问题：判别敛散；求收敛域；求和函数；级数展开.为傅立叶级数.为傅氏系数)时,时为数项级数;时为幂级数;*一、数项级数的审敛法1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.正项级数审敛法必要条件不满足发散满足比值审敛法根值审敛法收敛发散不定比较审敛法用它法判别积分审敛法部分和极限*3.任意项级数审敛法为收敛级数Leibniz审敛法:若且则交错级数收敛,概念:且余项若收敛,称绝对收敛若发散,称条件收敛*例1.若级数均收敛,且证明级数收敛.证:则由题设收敛收敛收敛练习题:P3201;2;3;4;5*解答提示:P320题2.判别下列级数的敛散性:提示:(1)据比较审敛法的极限形式,原级数发散.*∴原级数发散故原级数收敛发散,收敛,用洛必达法则,原级数发散*时收敛;时,为p级数时收敛;时发散.时发散.*P320题3.设正项级数和也收敛.法1由题设根据比较审敛法的极限形式知结论正确.都收敛,证明级数法2因故存在N0,当nN时从而再利用比较法可得结论*P320题4.设级数收敛,且是否也收敛？说明理由.但对任意项级数却不一定收敛.问级数提示:对正项级数,由比较判别法可知级数收敛,收敛,级数发散.例如,取*P320题5.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:提示:(1)p1时,绝对收敛;0p≤1时,条件收敛;p≤0时,发散.(2)故原级数绝对收敛.*因单调递减,且但对所以原级数仅条件收敛.由Leibniz审敛法知级数收敛;*因所以原级数绝对收敛.*二、求幂级数收敛域的方法?标准形式幂级数:先求收敛半径R:再讨论?非标准形式幂级数通过换元转化为标准形式直接用比值法或根值法处的敛散性.P320题7.求下列级数的敛散域:练习:(自证)*解:当因此级数在端点发散,时,时原级数收敛.故收敛域为*解:因故收敛域为级数收敛;一般项不趋于0,级数发散;*例2.解:分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数极限不存在∵原级数=∴其收敛半径注意:此题*再求余弦级数.将则有作偶周期延拓,*说明:令x=0可得即*内容小结1.周期为2?的函数的傅里叶级数及收敛定理其中注意:若为间断点,则级数收敛于*2.周期为2?的奇、偶函数的傅里叶级数奇函数正弦级数偶函数余弦级数3.在[0,?]上函数的傅里叶展开法作奇周期延拓,展开为正弦级数作偶周期延拓,展开为余弦级数1.在[0,?]上的函数的傅里叶展开法唯一吗?答:不唯一,延拓方式不同级数就不同.思考与练习*,处收敛于2.则它的傅里叶级数在在处收敛于.提示:设周期函数在一个周期内的表达式为*3.设又设求当的表达式.解:由题设可知应对作奇延拓:由周期性:为周期的正弦级数展开式的和函数,