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吾日三省乎吾身。为人谋而不忠乎?与朋友交而不信乎?传不习乎?——《论语》
数值分析曲线拟合的最小二乘法实验报告
数值分析曲线拟合的最小二乘法实验报告
篇一：
数值分析设计曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法
一、目的和意义在科学实验的统计方法研究中，往往要从一组实
验数据?xi,yi??i?0,1,2,?,m?中，寻找自变量x与因变量y之间的函
数关系y?F?x?。由于观测数据往往不准确，因此不要求y?F?x?经过
所有点?xi,yi?，而只要求在给定点xi上误差而只要求所在所有给定
点xi上的误差?i?F(xi)?yi?i?0,1,2,?,m?按某种标准最小。若
记????0,?1,?2,?,?m?，就是要求向量?的范数如果用最大范数，计
算上困难较大，通常采用欧式范数?最小。2T作为误差度量的标准。
F?x?的函数类型往往与实验的物理背景以及数据的实际分布有关，它
一般含有某些待定参数。如果F?x?是所有待定参数的线性函数，那
么相应的问题称为线性最小二乘问题，否则称为非线性最小二乘问
题。最小二乘法还是实验数据参数估计的重要工具。这是因为这种方
法比其他方法更容易理解，即使在其他方法失效的情况下，用最小二
乘法还能提供解答，而且从统计学的观点分析，用该方法求得各项估
计具有最优统计特征，因此这一方法也是系统识别的重要基础。线性
最小二乘问题可以借助多元微分学知识通过求解法方程组得到解答。
用最小二乘法求拟合曲线时，首先要确定S?x?的形式。这不单纯是数
学问题，还与所研究问题的运动规律以及所得观测数据?xi,yi?有关；
通常要从问题的运动规律以及给定数据描图，确定S?x?的形式，并通
过实际计算选出较好的结果。为了使问题的提法更有一般性，通常把
最小二乘法中的?22都考虑为加权平方和
22?????xi???S?xi??f?xi???i?0m2这里??xi??0是?a,b?上的
加权函数，它表示不同点?xi,f?xi?处的数据比重不同。?
二、计算方法在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关
系，试求含碳量y与时间t的拟合曲线。本题要求我们
用??t??a1t?a2t2?a3t3对曲线进行拟合，这里
以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。——《旧唐书·魏征列传》
m?11,?1?t,?2?t2,?3?t3,故??1,?1???ti?0112i
?12650,??1,?2????2,?1???ti3?544500,i?01111??2,?2???ti?0
114i??1,?3????3,?1???ti4i?011
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11??1,y???tiyi?136
5.55,??2,y???ti2yi?54350.75,i?0i?0??3,y???ti3yi?237984
6.25i?011由于???,??akjj?0nj?dj?k?0,1,?,n?,可以
利用此式算出拟合曲线的ai，
即???1,?1???1,?2???1,?
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