（寒假）2024-2025年高二数学 寒假巩固讲义+随堂检测 第03课 三角恒等变换（原卷版）.docx

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第03课三角恒等变换

三角恒等变换（1）

知识梳理

1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式

sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ，简记作S(α±β)；

cos(α±β)＝cosαcosβ?sinαsinβ，简记作C(α±β)；

tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1?tanα·tanβ)，简记作T(α±β)．

2.二倍角公式

sin2α＝2sinα·cosα；

tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)；

cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α．

3.辅助角公式

y＝asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)，其中φ为辅助角，且其中cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，tanφ＝eq\f(b,a).

4.公式的逆用及有关变形

tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanα·tanβ)；

sinα±cosα＝eq\r(2)sin(α±eq\f(π,4))；

sinα·cosα＝eq\f(1,2)sin2α；

1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2；

1－sin2α＝(sinα－cosα)2；

sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)；

cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)；

tan2α＝eq\f(1－cos2α,1＋cos2α)(降幂公式)；

1－cos2α＝2sin2α；1＋cos2α＝2cos2α(升幂公式)

考向一利用两角和(差)公式运用

【例1】已知为锐角，且，则（???????）

A． B． C． D．

【变式1-1】已知角的终边过点，则（???????）

A． B． C． D．

【变式1-2】下列选项中，与的值相等的是（）

A. B.

C. D.

【变式1-3】已知是第二象限角，且，，则____.

方法总结：考查两角和差的三角函数．公式的结构特征要记牢，在求值、化简时，注意观察角度、函数名、所求角与已知角之间的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．求角问题的关键在于选择恰当的三角函数，选择的标准是，在角的范围内根据函数值，角有唯一解．本题考查逻辑思维能力，考查转化与化归思想．

考向二二倍角公式的运用

【例2】（多选）下列各式的值等于的是（）

A. B. C. D.

【变式2-1】已知，则的值为（）

A． B． C．－ D．

【变式2-2】化简：（eq\f(1,tan\f(α,2))－taneq\f(α,2)）·（1＋tanα·taneq\f(α,2)）＝；

方法总结：本题考查二倍角公式的简单应用．三角函数式的化简要注意以下3点：①看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；②看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；③看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”等．本题考查运算求解能力，逻辑思维能力，考查转化与化归思想．

考向三公式的综合运用

【例3】计算（）

A．1 B．﹣1 C． D．

【变式3-1】化简______．

【变式3-2】已知，，其中，为锐角，以下判断正确的是（）

A.B.C.D.

【变式3-3】已知，则（????）

A． B． C． D．

方法总结：

(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：

一看角，二看名，三看式子结构与特征.

(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.

三角恒等变换（2）

知识梳理

1.在三角函数式的化简、求值、证明等三角恒等变换中，要注意将不同名的三角函数化成同名的三角函数，如遇到正切、正弦、余弦并存的情况，一般要切化弦．

2.要注意对“1”的代换：

如1＝sin2α＋cos2α＝taneq\f(π,4)，还有1＋cosα＝2cos2eq\f(α,2)，1－cosα＝2sin2eq\f(α,2).

3.对于sinαcosα与sinβ±cosα同时存在的试题，可通过换元完成：

如设t＝sinα±cosα，则sinαcosα＝±eq\f(t2－1,2).

4.要注意角的变换，熟悉角的拆拼技巧，理解倍角与半角是相对的，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，eq\f(α,3)是eq\f(2α,3)的半角，eq\f(α,2)是eq\f(α,4)的倍角等．

5.用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式：

(1)y＝asin