高中数学同步精品讲义：导数与函数的单调性（2知识点 6题型 强化训练）.docxVIP

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导数与函数的单调性

课程标准

学习目标

（1）理解在某区间上函数的单调性与导数的关系；

（2）能够利用导数求函数的单调区间。

（1）掌握利用导数判断或证明函数单调性的方法；

（2）能够利用导数求函数的单调区间；

（3）能够根据函数的单调性求参数；

（4）理解函数图象与其导函数图象之间的关系；

（5）通过利用导数判断函数单调性法则的学习提升数学抽象核心素养。

知识点01导数与函数单调性的关系

1、导数与函数单调性定义：

在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；

如果，那么函数在这个区间内单调递减．

2、对导数与函数单调性概念理解；

（1）在某区间内（）是函数在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件；

（2）可导函数在上是增(减)函数的充要条件是对?x∈(a，b)，都有（）且在上的任何子区间内都不恒为零．

【即学即练1】（22-23高二下·四川成都·期末）函数在上是（）

A．偶函数、增函数B．奇函数、减函数C．偶函数、减函数D．奇函数、增函数

【答案】D

【解析】，则，所以函数是奇函数，

，所以在上是单调递增的.故选：D

知识点02函数图象变化趋势与导数的绝对值的大小的关系

观察函数图象，分析函数的导数绝对值的大小与函数图象的变化关系

函数图象

导数

导数为正，且绝对值越来越大

导数为正，且绝对值越来越小

导数为负，且绝对值越来越大

导数为负，且绝对值越来越小

函数值

函数值变化越来越快

函数值变化越来越慢

函数值变化越来越快

函数值变化越来越慢

图象特点

越来越陡峭

越来越平缓

越来越陡峭

越来越平缓

【即学即练2】（23-24高二·全国·课时练习）已知函数在上有导函数，图象如图所示，则下列不等式正确的是（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【解析】设函数，则，则函数为增函数，

又，则，故选：A.

【题型一：求不含参函数的单调区间】

例1．（23-24高二上·陕西西安·期末）函数的单调递减区间为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】函数定义域是，

由已知，由得，∴减区间为，故选：A．

变式1-1．（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）函数在上的单调递增区间为．

【答案】，

【解析】函数，求导得，

当时，由，得，解得或，

所以所求单调递增区间为，.

变式1-2．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）函数的单调增区间为.

【答案】

【解析】函数，，

单调递增，单调递减，所以单调递增，

当时，，所以当时，，

所以函数的单调递增区间是.

变式1-3．（23-24高三上·贵州黔东南·阶段练习）（多选）下列函数在定义域上为增函数的有（）

A．B．C．D．

【答案】AC

【解析】由在上是增函数，故A正确；

对于函数，

当时，，当时，，

所以在定义域上不是增函数，故B错误；

函数的定义域为，

所以在定义域上是增函数，故C正确；

，

定义域为，

在定义域内不是增函数，故D错误；故选：AC.

【方法技巧与总结】

求函数单调区间的步骤

（1）确定函数的定义域；

（2）求（通分合并、因式分解）；

（3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间；

（4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间．

【题型二：求含参函数的单调区间】

例2．（23-24高二下·全国·课时练习）已知函数讨论的单调性.

【答案】答案见解析

【解析】函数，求导得，

当时，，，单调递减，，，单调递增；

当时，当或时，，单调递增，

当时，，单调递减，

当时，，函数在R上单调递增；

当时，当或时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以当时，函数的递减区间为，递增区间为；

当时，函数的递增区间为，，递减区间为；

当时，函数的递增区间为；

当时，函数的递增区间为，，递减区间为.

变式2-1．（2024高二·上海·专题练习）设函数，其中.

（1）当时，求函数在处的切线方程；

（2）讨论的单调性；

【答案】（1）；（2）函数在上单调递减，在上单调递增

【解析】（1）当时，，故，

此时函数在处的切线方程为：.

（2）由题意，的定义域为，

，

则当时，单调递增；当时，单调递减.

故函数在上单调递减，在上单调递增.

变式2-2．（23-24高二下·全国·课前预习）已知函数.

（1）若，求曲线在点处的切线；

（2）讨论的单调性；

【答案】（1）；（2）答案见解析

【解析】（1）当时，函数，则，切点坐标为，

，则曲线在点处的切线斜率为，

所求切线方程为，即.

（2），函数定义域为R，

，

①，解得或，解得，

所