高中数学同步精品讲义：导数与函数的极值、最值（2知识点 6题型 强化训练）.docxVIP

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导数与函数的极值、最值

课程标准

学习目标

（1）理解函数极值、极值点的有关概念，掌握利用导数求函数极值的方法；

（2）注意结合函数的图象理解用导数求函数极值的方法，培养用数形结合的思想方法去分析问题和解决问题的思维习惯；

（3）了解函数最值的有关概念；

（4）会用函数的导数求函数的最值。

（1）了解函数的极大（小）值与导数的关系；

（2）理解极大值、极小值的概念掌握；

（3）掌握不超过三次的多项式函数的极大（小）值的求法；

（4）了解函数的最值与极值的区别和联系；

（5）理解函数最值的概念并掌握指定区间上不超过三次的多项式函数的最大（小）值的求法。

知识点01函数的极值点、极值

1、极值与极值点的定义

一般地，设函数的定义域为，设，如果对于附近的任意不同于的，都有：

（1），则称为函数的一个极大值点，且在处取极大值；

（2），则称为函数的一个极小值点，且在处取极小值；

极大值点与极小值点都成为极值点，极大值与极小值都成为极值。

2、函数的导数与极值关系

一般地，如果是的极值点，且在处可导，则必有

（1）函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的；

（2）极值点是函数定义域内的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点；

（3）极大值与极小值没有必然的的大小关系，一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，且在某一点的极小值可能大于某一点的极大值；

（4）只是可导函数在处取得极值的必要条件，不是充分条件。

3、函数的单调性与极值

一般地，设函数在处可导，且

（1）如果对于左侧附近的任意，都有；对于右侧附近的任意，都有，那么此时是的极大值点；

（2）如果对于左侧附近的任意，都有；对于右侧附近的任意，都有，那么此时是的极小值点。

（3）如果在的左侧附近与右侧附近均为正号（或均为负号），则一定不是的极值点。

【即学即练1】（23-24高二上·山西忻州·期末）函数的极大值为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】，当时，，

当时，.

所以的极大值为.故选：B.

知识点02函数的最值

1、函数最值的定义

（1）最大值：如果在函数的定义域内存在一点使得任意一点，使得对任意的，总有，那么称为函数在定义域上的最大值。

（2）最小值：如果在函数的定义域内存在一点使得任意一点，使得对任意的，总有，那么称为函数在定义域上的最小值。

2、对函数最值的定义理解

（1）闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数不一定有最值。

（2）函数的最大值和最小值是一个整体性概念。

（3）函数在上连续，是函数在上有最大值或最小值的充分而非必要条件。

3、函数极值与最值的关系

一般地，如果函数在定义域内的第一点都可导，且函数存在最值，则函数的最之巅一定是某个极值点；如果函数的定义域为且存在最值，函数在内可导，那么函数的最值点要么是区间端点或，那么是极值点。

【即学即练2】（22-23高二下·新疆喀什·阶段练习）下列结论中，正确的是（）

A．若在上有极大值，则极大值一定是上的最大值．

B．若在上有极小值，则极小值一定是上的最小值．

C．若在上有极大值，则极大值一定是在和处取得．

D．若在上连续，则在上存在最大值和最小值．

【答案】D

【解析】函数在上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，故AB错误；

函数在上的极值一定不会在端点处取得，故C错误；

若在上连续，则在上存在最大值和最小值，故D正确.故选：D.

【题型一：导函数图象与极值的关系】

例1．（22-23高二下·北京·期末）已知函数的导函数的图像如图所示，则（）

A．有极小值，但无极大值B．既有极小值，也有极大值

C．有极大值，但无极小值D．既无极小值，也无极大值

【答案】A

【解析】由导函数图像可知：

导函数在上小于0，于是原函数在上单调递减，

在上大于等于0，于是原函数在上单调递增，

所以原函数在处取得极小值，无极大值，故选：A.

变式1-1．（22-23高二下·广东梅州·期末）设是的导函数，的图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A．有两个极值点B．

C．为的极小值D．有一个极大值

【答案】D

【解析】令的图象与x轴最右边交点横坐标为，

观察图象知，由，得或，由，得或，

函数有3个极值点，A错误；

函数在上单调递增，，B错误；

显然2不是函数的极值点，则不为的极小值，C错误；

显然1是函数的极大值点，则有一个极大值，D正确.故选：D

变式1-2．（23-24高二上·安徽·期末）已知函数为连续可导函数，的图像如图所示，以下命题正确的是（）

A．是函数的极大值