数的整除知识点总结PPT.pptx

数的整除知识点总结

整除基本概念与性质最大公约数与最小公倍数分数与小数的整除问题同余式与模运算在整除中应用复杂表达式中整除问题处理方法总结回顾与拓展延伸

整除基本概念与性质01

整除定义若整数a除以非零整数b的商仍为整数，且余数为零，则称a能被b整除，或b能整除a。符号表示a能被b整除记作b|a，否则记作b?a。整除定义及符号表示

传递性可加性可乘性整除与因子关系整除性质与定b|a且c|b，则c|a。若b|a且b|c，则对于任意整数m、n，有b|(ma+nc)。若b|a且b|c，则b|(ac)。若b|a，则b是a的因子，a是b的倍数。

对于任意两个整数a和b(b≠0)，存在唯一的一对整数q和r，使得a=bq+r，其中0≤r|b|，称q为商，r为余数。带余除法定义在带余除法中，商和余数满足上述关系式，且余数小于除数。当余数为0时，表示a能被b整除。商和余数关系带余除法及商和余数关系

最大公约数与最小公倍数02

定义01最大公约数，简称GCD，指两个或多个整数共有约数中最大的一个。枚举法02将两个数中较小的那个数的所有因数列出，找出其中能同时整除这两个数的最大的因数，即为最大公约数。辗转相除法03用较大数除以较小数，再用出现的余数（第一次）替换较大数，再用较小数除以这个余数，如此反复，直到余数为0为止。此时较小数即为两数的最大公约数。最大公约数定义及求法

最小公倍数，简称LCM，指两个或多个整数公有的倍数中最小的一个。定义将两个数的倍数分别列出，找出其中最小的公倍数。枚举法两数的乘积等于两数的最大公约数与最小公倍数的乘积，即a*b=GCD(a,b)*LCM(a,b)。因此，可以先求出最大公约数，然后用这个公式求出最小公倍数。公式法最小公倍数定义及求法

关系对于任意两个正整数a和b（ab），它们的最大公约数与最小公倍数之间存在如下关系：a*b=GCD(a,b)*LCM(a,b)。应用这个关系在解决一些数学问题时非常有用，比如求两个数的最小公倍数或者判断一个数是否为两个数的公倍数等。通过灵活运用这个关系式，可以简化计算过程，提高解题效率。最大公约数与最小公倍数关系

分数与小数的整除问题03

两个分数相除，若除数的倒数与被除数相乘的结果为整数，则称被除数能被除数整除。将除数与被除数化为同分母分数，观察分子是否能被分母整除。若能，则原分数相除的结果为整数，即被除数能被除数整除。分数整除条件及判断方法判断方法分数整除条件

将小数写成分母为10、100、1000等的分数形式，然后化简得到最简分数。小数化分数方法将小数化成分数后，按照分数整除的判断方法进行判断。若最简分数的分子能被分母整除，则原小数能被除数整除。整除判断小数化为分数进行整除判断

分析将0.75和0.25化为分数，得到3/4和1/4。观察分子3和1，发现3能被1整除，因此0.75能被0.25整除。例题1判断7/8能否被3/4整除。分析将7/8和3/4化为同分母分数，得到21/24和18/24。观察分子21和18，发现21不能被18整除，因此7/8不能被3/4整除。例题2判断0.75能否被0.25整除。典型例题分析

同余式与模运算在整除中应用04

同乘性自反性$aequivapmod{m}$。传递性若$aequivbpmod{m}$且$bequivcpmod{m}$，则$aequivcpmod{m}$。同加性若$aequivbpmod{m}$，则$a+cequivb+cpmod{m}$。若两个整数a和b除以正整数m所得的余数相同，则称a和b对模m同余，记作$aequivbpmod{m}$。同余式定义对称性若$aequivbpmod{m}$，则$bequivapmod{m}$。若$aequivbpmod{m}$，则$acequivbcpmod{m}$。同余式基本概念和性质

判断整除性利用同余式可以判断一个数是否能被另一个数整除。例如，若$aequiv0pmod{m}$，则a能被m整除。简化计算在解决整除问题时，可以利用模运算将复杂的问题简化为简单的同余式问题。例如，求一个数除以另一个数的余数时，可以直接利用模运算求解。寻找规律通过模运算可以找到一些与整除相关的规律，从而更方便地解决问题。例如，在寻找一个数的因子时，可以利用模运算来判断哪些数可能是该数的因子。模运算在整除问题中作用

例题1求$2^{2023}$除以13所得的余数。该问题可以通过模运算和同余式的性质进行求解。首先，我们可以找到2的幂次对13取模的循环节，然后利用同余式的性质求出$2^{2023}$对13取模的结果。证明对于任意正整数n，都存在一组正整数a和b，使得$n=a^2+b^2$或$n=a^2+2b^2$。该