湖南省郴州市2024-2025学年高三上学期12月期末考试数学试题（解析版）.docx

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考生注意：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】化简集合B，根据集合的交集运算求解.

【详解】因为，，

所以

故选：B

2.设，是两个平面，，是两条直线，若，，则“”是“，”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据平面平行的性质与判定及充分条件、必要条件的概念得解.

【详解】若，，则,可能平行，也可能相交，故不一定成立，

若，则，，

故是，的充分不必要条件.

故选：A

3.已知向量，满足，，则（）

A.1 B.2 C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据已知结合向量的线性运算可得向量，的坐标，再根据坐标的模长运算可得的值.

【详解】因为，，所以，

则，所以，

所以.

故选：C.

4.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，得到的点数分别为，，则“”的概率为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】求出基本事件的总数和随机事件“”中含有的基本事件的个数，利用对立事件的概率公式可求“”的概率.

【详解】抛掷一枚质地均匀的骰子两次，共有种基本事件，

设为抛掷一枚质地均匀的骰子两次，得到的点数分别为，，则“”，

则中共有基本事件3种：，，

所以，故“”的概率为.

故选：D.

5.已知双曲线的左、右焦点分别为，，为的右支上一点，为的中点，为线段上一点，若（为坐标原点），则（）

A.4 B.2 C.1 D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用双曲线的定义及中位线的性质求解即可.

【详解】如图，连接，

由题意可知，

因为为坐标原点，为的中点，

所以，，

则.

故选：C

6.在中，内角，，的对边分别为，，，，，，为边上一点，且，则的面积为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】由已知可得，可求，可求的面积.

【详解】因为在中，，又为边上一点，且，

所以，

又，所以，

所以，解得，

所以.

故选：D.

7.已知，，，则（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】构造函数，利用单调性可判断的大小，构造函数，利用单调性可判断的大小，进而可得结论.

【详解】令，求导得，

令，所以，所以在上单调递增，

所以，所以，所以单调递增，

所以，所以，

所以，所以，即，

令，求导得，

所以在上单调递减，所以，

所以，所以，所以，

所以，所以.

故选：B.

8.已知是递减的整数数列，若，且，则的最小值为（）

A.54 B.55 C.63 D.64

【答案】D

【解析】

【分析】根据数列为递减的整数数列，考虑所给条件，利用等差数列的求和公式及通项公式分析即可得解.

【详解】因为是递减的整数数列，

所以要使最小，应使递减的幅度尽可能小,考虑公差为的等差数列,

设,由,得.

记的前项和为，则,当时,，

不满足题意；当时，，

因为,只需去掉这一项即可，

即满足题意的数列为，即的最小值为64.

故选：D

【点睛】关键点点睛：由数列最后一项为，为了首项最小，可考虑递减幅度最小，公差为的数列探索求解即可.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知事件、发生的概率分别为，，则下列结论正确的是（）

A. B.

C.一定有 D.若，则与相互独立

【答案】ABD

【解析】

【分析】由对立事件的概率公式可判断A选项；由可判断B选项；根据事件的包含关系可判断C选项；根据独立事件的定义和性质可判断D选项.

【详解】对于A选项，由对立事件的概率公式可得，A对；

对于B选项，因为，

当且仅当时，等号成立，

又因为，，

所以，

，

当且仅当时，等号成立，

综上所述，，B对；

对于C选项，因为，，无法确定、的包含关系