§4.4 三角函数的综合应用.docx

§4.4三角函数的综合应用

考点三角函数的综合应用

1.(2014四川,16,12分)已知函数f(x)=sin3x

(1)求f(x)的单调递增区间;

(2)若α是第二象限角,fα3=45cosα+

解析(1)因为函数y=sinx的单调递增区间为-π2

由-π2+2kπ≤3x+π4≤

-π4+2kπ3≤x≤π

所以,函数f(x)的单调递增区间为-π

(2)由已知,有sinα+π4=45cosα+

所以sinαcosπ4+cosαsin

=45cosαcosπ

即sinα+cosα=45(cosα-sinα)2(sinα+cos

当sinα+cosα=0时,由α是第二象限角,知α=3π4

此时,cosα-sinα=-2.

当sinα+cosα≠0时,有(cosα-sinα)2=54

由α是第二象限角,知cosα-sinα0,此时cosα-sinα=-52

综上所述,cosα-sinα=-2或-52

2.(2014重庆,17,13分)已知函数f(x)=3sin(ωx+φ)ω0,-π2≤φπ2的

(1)求ω和φ的值;

(2)若fα2=34π6

解析(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π,所以f(x)的最小正周期T=π,从而ω=2πT=2.

又因为f(x)的图象关于直线x=π3对称,

2·π3+φ=kπ+π2,k=0,±1,±2,….由-π2

所以φ=π2-2π3=-

(2)由(1)得fα2=3sin2·α

所以sinα-π6

由π6α2π3得0α-π6

所以cosα-π6=1-si

因此cosα+3π

=sinα-π6cosπ6

=14×32+154×1

3.(2014湖北,17,11分)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:

f(t)=10-3cosπ12t-sinπ

(1)求实验室这一天的最大温差;

(2)若要求实验室温度不高于11℃,则在哪段时间实验室需要降温?

解析(1)因为f(t)=10-232cosπ12

又0≤t24,所以π3≤π12t+π37π

当t=2时,sinπ12t+π

于是f(t)在[0,24)上取得最大值12,取得最小值8.

故实验室这一天最高温度为12℃,最低温度为8℃,最大温差为4℃.

(2)依题意,当f(t)11时实验室需要降温.

由(1)得f(t)=10-2sinπ12

故有10-2sinπ12

即sinπ12t+π

又0≤t24,因此7π6π12t+π3

在10时至18时实验室需要降温.