2025年概率论与数理统计电子版教材.pdfVIP

海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚。——林则徐

概率论与数理统计电子版教材

概率论与数理统计是一门重要的数学学科，是大多数理工科专

业中必修的一门课程。概率论与数理统计的研究对象是随机现

象和随机变量，其中概率论研究随机现象的概率计算问题，数

理统计研究随机变量的统计分析问题。本文将详细介绍概率论

与数理统计的相关内容。

一、概率论

概率论是研究随机现象中不同结果发生的可能性和概率分布的

数学理论。在概率论中，事件是指任何可能发生的结果，而样

本空间是所有可能结果的集合。概率是事件发生的可能性大小

的度量，一般用0到1之间的实数表示。

1.基本概念

在概率论中，有一些基本概念需要了解和掌握，包括事件、样

本空间、概率与概率分布等。

事件：在随机现象中，任何一种可能发生的结果称为事件，用

大写字母表示，比如事件A、事件B等。

样本空间：在随机现象中，所有可能结果的集合称为样本空间，

用Ω表示。比如掷一枚硬币，样本空间为{正面，反面}。

概率：概率是事件发生的可能性大小的度量，用P(A)表示，

范围为0到1之间的实数。如果一个事件A发生的概率是0，

其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。——《论语》

那么称该事件为不可能事件；如果一个事件A发生的概率是1，

那么称该事件为必然事件。

概率分布：指各种可能结果的概率，是随机变量的概率分布函

数，也是描述随机变量性质的核心概念。

2.条件概率与独立性

条件概率是指在已知一些相关信息的条件下，某事件发生的概

率。设A、B是两个事件，并且P(B)0，那么事件A在事件

B发生的条件下发生的概率为：

P(A|B)=P(A∩B)/P(B)

其中A∩B表示事件A和事件B同时发生的结果集合。

独立性是指两个事件的发生没有任何联系，也就是说一个事件

的发生不会影响另一个事件的发生。设A、B是两个事件，如

果P(A|B)=P(A)，那么称事件A和事件B是相互独立的。

3.随机变量

随机变量是概率论中的重要概念，是定义在样本空间Ω上的

实值函数X，即X(ω)，其中ω∈Ω。通常用大写字母X、Y、

Z等变量表示。在概率论中，随机变量是指取值不确定的变量，

它的值取决于随机现象的结果。根据随机变量的定义，可以将

随机变量分为离散型随机变量和连续型随机变量。

操千曲尔后晓声，观千剑尔后识器。——刘勰

离散型随机变量：指在样本空间中取一些离散的数值。其概率

函数可以表示为：

P(X=xk)=pk，k=1,2,...,n

其中pk表示X等于xk的概率，n为可能取值的个数。

连续型随机变量：指在样本空间中取值是连续的，其概率密度

函数f(x)满足如下条件：

1）f(x)≥0，x∈R

2）∫Rf(x)dx=1

由于连续型随机变量的取值是连续的，所以它的概率不能直接

计算，需要借助于概率密度函数来计算。

二、数理统计

数理统计是以概率论为理论基础，研究随机现象及其分布规律

的数学学科。它是对数据的处理、分类、分析及解释的方法学。

1.参数估计

在实际应用中，常常需要对总体的某些特征进行估计。总体是

指包含所有样本的集合，它的性质难以完全观测或测量。为了

使估计更加准确，需要选取一些样本进行统计分析。这时需要

用到参数估计技术。参数估计是指在已知样本的基础