2025年矩阵的运算与逆矩阵.pdfVIP

士不可以不弘毅，任重而道远。仁以为己任，不亦重乎?死而后已，不亦远乎?——《论语》

矩阵的运算与逆矩阵

矩阵是线性代数中一种非常重要的数学工具，广泛应用于各个领域。

矩阵的运算与逆矩阵是矩阵理论的核心内容，它们在求解线性方程组、

表示线性变换等方面具有重要的意义。本文将详细介绍矩阵的运算及

其逆矩阵的概念、性质和求解方法。

一、矩阵的基本概念

矩阵是由m行n列的数按一定的规则排列在矩形形式中构成的数表。

其中每一个数称为元素或分量。矩阵通常用大写的英文字母表示，如

A，B，C等。矩阵中的行数与列数分别称为矩阵的行数和列数，分别

用m和n表示。矩阵A的元素a_ij是指第i行第j列的元素，其中i为

行数，j为列数。

二、矩阵的运算

1.矩阵的加法

若矩阵A和矩阵B的行数和列数分别相等，则可进行矩阵的加法运

算。矩阵的加法定义如下：

设A=(a_ij)是一个m行n列的矩阵，B=(b_ij)是一个m行n列的矩

阵，那么矩阵A与B的和C=A+B定义为C=(c_ij)，其中c_ij=a_ij+b_ij。

2.矩阵的数乘

对于一个m行n列的矩阵A=(a_ij)和一个标量k，可以定义矩阵的

数乘运算。矩阵的数乘定义如下：

古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有坚忍不拔之志。——苏轼

设A=(a_ij)是一个m行n列的矩阵，k是一个实数，那么矩阵A乘

以k的结果C=kA定义为C=(c_ij)，其中c_ij=ka_ij。

3.矩阵的乘法

矩阵的乘法是矩阵运算中最为重要的一种运算，它用于描述线性变

换和求解线性方程组等问题。矩阵的乘法定义如下：

设A=(a_ij)是一个m行n列的矩阵，B=(b_ij)是一个n行p列矩阵，

那么矩阵A乘以矩阵B的结果C=AB定义为C=(c_ij)，其中

c_ij=a_i1b_1j+a_i2b_2j+...+a_inb_nj。

三、逆矩阵的性质与求解

对于一个n阶方阵A，若存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I

为n阶单位矩阵，则称矩阵A可逆，并称矩阵B为矩阵A的逆矩阵，

记作A^{-1}。

逆矩阵的性质如下：

1.若矩阵A可逆，则其逆矩阵唯一。

2.若矩阵A可逆，则矩阵A的转置矩阵也可逆，并且有(A^T)^{-

1}=(A^{-1})^T。

3.若矩阵A与矩阵B都可逆，则矩阵AB也可逆，并且有(AB)^{-

1}=B^{-1}A^{-1}。

4.若矩阵A可逆，则(A^{-1})^{-1}=A。

求解逆矩阵的方法如下：

去留无意，闲看庭前花开花落；宠辱不惊，漫随天外云卷云舒。——《幽窗小记》

1.列主元消元法：

通过将矩阵A与单位矩阵进行合并，利用行变换将矩阵A变为上

三角矩阵U，然后再应用反向的行变换将上三角矩阵U变为单位矩阵I，

此时所得到的矩阵就是矩阵A的逆矩阵A^{-1}。

2.初等行变换法：

通过将矩阵A与单位矩阵进行合并，利用初等行变换将矩阵A变

为单位矩阵I，同时单位矩阵也会变为矩阵A的逆矩阵A^{-1}。

四、矩阵的运算与逆矩阵的应用

矩阵的运算与逆矩阵在线性方程组求解、线性变换