2006级信息安全数学基础试卷-B-答案.docVIP

《信息安全数学基础》试卷第PAGE6页共NUMPAGES6页

姓名学号学院

姓名学号学院专业座位号

(密封线内不答题)

……………………密………………封………线……线………

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…

华南理工大学期末考试

《信息安全数学基础》试卷B

注意事项：1.考前请将密封线内填写清楚；

2.所有答案请直接答在试卷上；

3．考试形式：闭卷；

4.本试卷共四大题，满分100分， 考试时间120分钟。

题号

一

二

三

四

总分

得分

评卷人

选择题：（每题2分，共20分）

1．(2)。2．(3)。3．(3)。4．(3)。5．(2)。6．(2)。7．(4)。

8．(3)。9．(4)。10．(2)

二．填空题：（每题2分，共20分）

1．设m是正整数，a是满足a?m的整数，则一次同余式：ax?b(modm)有解的充分必要条件是(a,m)|b。当同余式ax?b(modm)有解时，其解数为d＝(a,m)。

2．设m是正整数，则m个数0,1,2,…,m－1中与m互素的整数的个数叫做m的欧拉(Euler)函数，记做?(m)。

3．设m是正整数，若同余式x2?a(modm)，(a,m)=1有解，则a叫模m

4．设a,b是正整数，且有素因数分解，，则，

。

5．如果a对模m的指数是?(m)，则a叫做模m的原根。

6．设m是一个正整数，若r1,r2,…,r?(m)是?(m)个与m互素的整数，并且两两模m不同余，则r1,r2,…,r?(m)是模m的一个简化剩余系。

7．Wilson定理：设p是一个素数，则(p－1)!≡－1(modp)。

8．2007年1月18日是星期四，第220070118天是星期三。

9．(中国剩余定理)设m1,…,mk是k个两两互素的正整数，则对任意的整数b1,…,bk同余式组x?b1(modm1)

…………

x?bk(modmk)

有唯一解。令m＝m1…mk，m＝miMi，i＝1,…,k，则同余式组的解为：

x≡M1￠M1b1＋…＋Mk￠Mkbk(modm)

其中Mi￠Mi≡1(modmi),i＝1,2,…,k。

10．正整数n有标准因数分解式为，则n的欧拉函数

。

三．证明题（写出详细证明过程）：（每题5分，共20分）

1．证明：如果正整数a，b满足(a,b)＝1，则(an,bn)＝1。

证明：(i)由1.4节定理1：若(a,c)＝1，

则(ab,c)＝(b,c)。从而

(a2,b)＝(aa,b)＝(a,b)＝1，以此类推

(an,b)＝(aan－1,b)＝(an－1,b)＝(aan－2,b)

＝(an－2,b)＝…＝(a2,b)＝(aa,b)＝(a,b)＝1

(b，an)＝(an,b)＝1，类似的

(bn,an)＝(bbn－1,an)＝(bn－1,an)＝(bbn－2,an)

＝(bn－2,an)＝…＝(b2,an)＝(bb,an)＝(b,an)＝1

2．证明：设m是一个正整数，a?b(modm)，则(a,m)＝(b,m)。

证设a≡b(modm),则存在整数k使得a＝b＋mk,

根据1.3定理3，有(a,m)＝(b,m)。