高一数学培优函数的单调性及其应用-讲义（教师版）.pdf

函数的单调性及其应用

学习目标

1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义；

2.掌握定义法证明函数的单调性，掌握求单调区间的基本方法，能够利用函数单调性比大小、解不等式

进而求函数值域和最值．

【备注】

1.本节重点：函数单调性判断，求单调区间，单调性的应用；

2.本节难点：定义法证明、探索函数单调性，求函数的值域和最值；

3.前置知识：函数的概念和性质；

4.后置知识：导数．

一、单调性的相关概念

1.单调性的定义和图象表示

一般地，设的定义域为:

（1）如果对于定义域内某个子区间上的任意两个自变量，当时均有，那

么就说函数在区间上是单调增函数，如下图，增函数的图象在其对应区间内呈上升趋势．

（2）如果对于定义域内某个子区间上的任意两个自变量，当时均有，那

么就说函数在区间上是单调减函数，如下图，减函数的图象在其对应区间内呈下降趋势．

1

（3）讨论函数单调性的注意点

①的取值具有任意性．不能因为某函数在区间上有，就说函数单调增；也不能

因为对任意有，就说函数单调增．必须强调都是任意的．

②单调性相对区间而言．叙述单调性永远不能脱离区间．

③若某函数在某区间上为增函数，则与可正反互推，即

．若为减函数，同理．(以上是题型“利用单调性解不等式”的理论依据．)

④若函数在某区间上为常数，该函数在该区间上不单调．

(4)单调性除了用定义表达外，还可以用以下方式表达：(下面都以单调增为例)

①；

②；

③．

经典例题

1.已知函数在，上是增函数，对于任意的，，（），则下列结论中正确

的序号是．

①；②；

③；④．

【备注】虽然习惯上默认，但如遇到的大小关系未作规定时仍需谨慎．

【答案】①②④

【解析】时，，①②③④均正确；时，，①②④均正

确，所以正确的有①②④．

【标注】【知识点】用定义法证明函数的单调性

2

巩固练习

2.“函数在区间上不是增函数”的一个充要条件是（）．

A.存在满足

B.存在满足

C.存在且满足

D.存在且满足

【答案】D

【解析】若函数在区间上是增函数，

则，且，有，

所以若在区间不是增函数，

则有，且时，有，

故选：．

【标注】【知识点】充要条件与函数结合

2.单调区间

如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数