高一数学培优三角恒等变换-讲义（教师版）.pdf

三角恒等变换

学习目标

1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．

2.能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差，和差化积，半角公式，这三组公式要求

记忆）．

【备注】

本节重点：和差角公式，二倍角公式，辅助角公式；

本节难点：三角恒等变换的综合应用，和积互化公式；

前置知识：同角三角函数的关系，诱导公式；

后置知识：三角函数综合．

一、和差角公式

1.差角的余弦公式

下面我们运用几何知识进行探究

如下图：

y

α终边

P1P1P1

β终边

A1A1A1

α-β终边

PPP

AAA

OOOx

在平面直角坐标系内作单位圆，与轴的正半轴相交于点，以轴非负半轴为始边作

角，，，它们的终边分别于单位圆相交于点，，

1

．

显然，所对的弦，根据两点间距离公式有：

化简可得：

此公式不仅在如上图所示的，，为第一象限角时成立，也适用于其他角的情况．

我们将这个公式称为差角的余弦公式，简记作．

有了公式以后，我们只要知道、、、的值，就可以求得的值

了．

2.和角的正弦余弦，差角的正弦公式推导

有了，就可以以之为基础推导出另外三个公式：

例如：，

根据，有，

接下来根据诱导公式（三），，

整合上面的等式，有，

这样，就得到了两角和的余弦公式：．

请仿照着相同的思路，把下面的空白补充完整：

1．：___________________．

2．：