2025年因式分解16种方法.pdfVIP

为天地立心，为生民立命，为往圣继绝学，为万世开太平。——张载

因式分解16种方法

因式分解是数学中常见的一种运算方法，但并没有普适的

方法。在初中数学教材中，通常介绍提公因式法和公式法。而

在竞赛中，还有拆项和添减项法、分组分解法和十字相乘法、

待定系数法、双十字相乘法、对称多项式轮换对称多项式法、

余数定理法、求根公式法、换元法、长除法、除法等方法。

在分解因式时，需要遵循三个原则：分解要彻底、最终结

果只有小括号、多项式首项系数为正。此外，分解因式与整式

乘法是互为逆变形的。

掌握分解因式的技巧也很重要。首先，等式左边必须是多

项式；其次，分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；每个

因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的

次数；最后，分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分

解为止。

在使用基本方法分解因式时，提公因式法是一种常见的方

法。提公因式法的具体步骤包括：找出公因式；提公因式并确

英雄者，胸怀大志，腹有良策，有包藏宇宙之机，吞吐天地之志者也。——《三国演义》

定另一个因式；注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公

因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因

式分别除去原多项式的每一项，求得剩下的另一个因式。提完

公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。

另外一种常见的方法是公式法，即将乘法公式反过来，以

分解因式。需要注意的是，把2a2+11变成2(a2+)不属于提公

因式。

综上所述，掌握分解因式的技巧和方法，可以帮助我们更

好地解决数学问题。

平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)；完全平方公式：

a^2±2ab+b^2=(a±b)^2

需要注意的是，能够运用完全平方公式分解因式的多项式

必须是三项式，其中有两项能够写成两个数（或式）的平方和

的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍。

立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)；

立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)；

完全立方公式：a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3．

公式：a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)

先天下之忧而忧，后天下之乐而乐。——范仲淹

例如：a^2+4ab+4b^2=(a+2b)^2.

分组分解法

分组分解是一种简洁的解方程方法，适用于四项或大于四

项的方程。一般有两种形式：二二分法和三一分法。

例如：ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)

我们将ax和ay分为一组，bx和by分为一组，利用乘法

分配律，两两相配，就可以轻松解决问题。

同样，这道题也可以这样做。

ax+ay+bx+by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)

以下是几道例题：

1.5ax+5bx+3ay+3by

解法：=5x(a+b)+3y(a+b)=(5x+3y)(a+b)

说明：即使系数不同，也可以进行分组分解。将5ax和

5bx看成一个整体，将3ay和3by看成一个整体，利用乘法分

配律就可以轻松解决问题。

2.x^3-x^2+x-1