专题07 平行线的证明突破核心考点 （解析版）.pdf

专题07平行线的证明突破核心考点

【聚焦考点+题型导航】

考点一命题、真命题、假命题考点二平行线的判定

考点三平行线的性质考点四与平行线有关的三角形内角和问题

考点五与角平分线有关的三角形内角和问题考点六三角形折叠中的角度问题

【知识梳理+解题方法】

一、定义与命题

1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.

要点诠释：

（1）定义实际上就是一种规定.

（2）定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题.

2.命题：判断一件事情的句子叫做命题.

真命题：正确的命题叫做真命题.

假命题：不正确的命题叫做假命题.

要点诠释：

（1）命题的结构：命题通常由条件（或题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推

出的事项，一般地，命题都可以写成”如果……那么……”的形式,其中“如果”开始的部分是条件,“那

么”后面是结论.

（2）命题的真假：对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立；对于假命题来说，当条件成立时，不

能保证结论正确，即结论不成立.

二、证明的必要性

要判断一个命题是不是真命题，仅仅依靠经验、观察、实验和猜想是不够的，必须一步一步、有根有

据地进行推理.推理的过程叫做证明.

三、公理与定理

1.公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理.

要点诠释：欧几里得将“两点确定一条直线”等基本事实作为公理.

2.定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理.

要点诠释：

证明一个命题的正确性要按已知、求证、证明的顺序和格式写出.其中“已知”是命题的条件，“求证”

是命题的结论，而“证明”则是由条件（已知）出发，根据已给出的定义、公理、已经证明的定理，经过

一步一步的推理，最后证实结论（求证）的过程.

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四、平行公理及平行线的判定定理

1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．

推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．

要点诠释：

(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．

(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．

（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.

2．平行线的判定定理

判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：

∵∠3＝∠2

∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）

判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：

∵∠1＝∠2

∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）

判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：

∵∠4＋∠2＝180°

∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）

要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.

五、平行线的公理、定理

公理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同位角相等.（简记为：两直线平行，同位角相等）.

定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错角相等）.

定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补(简记为：两直线平行，同旁内角互补).

要点诠释：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不

可忽视前提“两直线平行”．

(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．

六、平行线的性质定理的探究过程

1.两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错角

相等）.

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c

a1

3

b2

因为a∥b,

所以∠1=∠2（两直线平行，同位角相等），

又∠3=∠1(对顶角相等)

所以∠2=∠3.

2.两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补(简记为：两直