2025年高等数学中的线性代数初步讲解.pdfVIP

子曰:“知者不惑，仁者不忧，勇者不惧。”——《论语》

高等数学中的线性代数初步讲解

近几年，线性代数已成为高等数学课程中必修的一门学科。与

其他数学分支不同，线性代数在实际生活中占据着重要的角色。

它不仅是数学基础中的重要组成部分，也在计算机科学、化学、

物理学、社会科学、经济学等各个领域得到了广泛应用。本文旨

在初步讲解高等数学中的线性代数内容，帮助读者更好地理解这

一学科。

一、向量和矩阵

线性代数以向量和矩阵为其基本的概念。向量简单的理解就是

有方向的线段。我们可以使用坐标来描述每个向量的位置。假设

在平面直角坐标系中有两个向量，分别表示为向量$u$和向量$v$，

那么它们的坐标表示分别是:

$u=(u_1,u_2),v=(v_1,v_2)$

两个向量的和是它们的坐标分别相加:

$u+v=(u_1+v_1,u_2+v_2)$

英雄者，胸怀大志，腹有良策，有包藏宇宙之机，吞吐天地之志者也。——《三国演义》

与此同时，矩阵也是线性代数中的重要概念。矩阵是一个由数

值排列成的矩阵。例如下面的2x2的矩阵:

矩阵的上下文语境是重要的，它可以表示线性映射、方程组、

向量空间等概念。

二、线性变换和线性方程组

线性变换是指一种将每个向量映射到另一个向量的映射方法。

它是一种线性的映射方法，遵循以下原则：

（1）变换不改变向量的零长度；

（2）变换不改变两向量之间的距离或角度；

（3）变换不改变向量的方向。

子曰:“知者不惑，仁者不忧，勇者不惧。”——《论语》

线性变化有一个特殊的矩阵形式，称之为变换矩阵，利用这个

矩阵可以表示线性变化。例如，下面的矩阵：

其中零在最后一行最后一个位置上。这个变换矩阵表示将三维

空间中的向量映射到二维空间中。

线性方程组在实际应用中也非常广泛。我们可以使用矩阵和向

量表示线性方程组。例如，下面的二元一次方程：

$ax+by=c\

dx+ey=f$

可以表达为如下矩阵形式：

学而不知道，与不学同；知而不能行，与不知同。——黄睎

当然，这样表示的优势不仅仅在于简化表达，也在于简化解决

问题的方法。

三、矢量空间和基

我们在上文中讲到了向量，但仅仅有向量是不够的。在线性代

数中，我们需要将向量集合描述为一个矢量空间，这个矢量空间

中必须具有以下属性：

（1）对任意两个向量的加法封闭；

（2）对于任意一个标量和向量的乘积封闭；

（3）满足乘法分配律和加法结合律。

与矢量空间相关的是基，它是矢量空间的一个重要属性。基是

一个包含矢量空间中所有线性组合的矢量组，它满足每个矢量空

间中的向量，都可以表示为基向量的线性组合。在一个基中，基

向量的数量称为维数。

操千曲尔后晓声，观千剑尔后识器。——刘勰

四、特殊的矩阵

在矩阵的基础上，有许多特殊的矩阵。例如，左逆矩阵、右逆

矩阵、行列式等等。这些特殊矩阵在解决线性方程组、矢量空间

的问题中非常有用。

五、总结

本文对高等数学中的线性代数进行了初步的讲解，从向量和矩

阵开始，接着讨论了矩阵在线性方程组和线性变换中的应用、矢

量空间和基的概念、特殊矩阵的使用等等。线性