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与圆有关的6种模型

（四点共圆、圆幂定理、垂径定理、定弦定角、定角定高、阿基米德折弦定理）

题型01四点共圆

1.四点共圆的判定

判定方法图形证明过程

若四个点到一个定点的距离相等，到定点的距离等于定长的点都在

同一个圆上（圆的定义）

则这四个点共圆（圆的定义）.

适用范围：题目出现共端点，等线

段时，可利用圆的定义构造辅助圆.

若一个四边形的一组对角互补，则反证法

这个四边形的四个点共圆.

若一个四边形的外角等于它的内对反证法

角，则这个四边形的四个点共圆.

同侧共边三角形且公共边所对角相反证法

等的四个顶点共圆.

共斜边的两个直角三角形的四个顶连接AO、OD

点共圆.根据直角三角形斜边的中线等于

斜边的一半可得

适用范围：双直角三角形共斜边模

AOBOCODO

型.

∴点A、B、C、D四点共圆

在⊙O中，若弦AB、CD相交于点在△APB和△CPD中

P,且AP•DPBP•CP，则A,B,C,D四AP•DPBP•CP

点共圆（相交弦定理的逆定理）∠3∠4

∴△APB∽△CPD∴∠1∠2

则A、B、C、D四点共圆

在⊙O中，若AB、CD两线段延长在△APC和△DPB中

后相交于点P,且AP•BPDP•CP，则AP•BPCP•DP

A,B,C,D四点共圆（割线定理）∠P∠P∴△APC∽△DPB

∴∠1∠3而∠2+∠3180°

∴∠1+∠2180°

则A、B、C、D四点共圆

若四边形两组对边乘积的和等于对

角线的乘积，则四边形的四个顶点

共圆(托勒密定理的逆定理).

【扩展】

托勒密定理：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.

证明:过点C作CP交BD于P，使∠1∠2，又∠3∠4，

tt

∴△ACD∽△BCP.∴，则AC·BPAD·BC①.

tt

∵∠1∠2∴∠1+∠ACP∠2