数学中考复习专题训练：手拉手旋转相似＋射影定理相似模型知识点练习（含答案解析）.pdfVIP

手拉手旋转相似＋射影定理相似模型专训专题训练

1．（2023秋•西湖区校级期中）如图，在矩形ABCD中，BD＝2．对角线AC与BD相交于点O，过点D作AC

的垂线，交AC于点E，AE＝3CE．则DE2的值为（）

A．4B．2C．D．4

【分析】根据矩形的性质可得∠ADC＝90°，AC＝BD＝2，从而求出AE，CE的长，然后根据射影定理证明

△ADE∽△DCE，从而可得DE2＝AE•CE，即可解答．

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ADC＝90°，AC＝BD＝2，

∵AE＝3CE，

∴AE＝AC＝，CE＝AC＝，

∵∠ADC＝90°，

∴∠DAC+∠ACD＝90°，

∵DE⊥AC，

∴∠AED＝∠CED＝90°，

∴∠ADE+∠DAC＝90°，

∴∠ADE＝∠ACD，

∴△ADE∽△DCE，

∴＝，

∴DE2＝AE•CE＝×＝，

故选：C．

2．（2022•义乌市校级开学）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，若AD＝4，BD＝8，则CD的长为（）

A．4B．4C．4D．

【分析】证明△ADC∽△CDB，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．

【解答】解：∵∠ACB＝90°，

∴∠A+∠B＝90°，

∵CD⊥AB，

∴∠DCB+∠B＝90°，

∴∠A＝∠DCB，

∵∠ADC＝∠CDB＝90°，

∴△ADC∽△CDB，

∴＝，即＝，

解得：CD＝4，

故选：A．

3．（2024•沙坪坝区校级开学）如图，在正方形ABCD中，AB＝2a，点E是边AB上的一点，且，连接

DE，AM⊥DE于点M，CN⊥DE于点N，连接CM，则CM的长为（）

A．B．C．D．

【分析】由正方形的性质可得：∠BAD＝∠ADC＝90°，AD＝CD＝AB＝2a，由勾股定理可得DE＝a，再由△

DAM∽△DEA，可得＝＝，即＝＝，求得AM＝a，DM＝a，再由△ADM≌△DCN

（AAS），可得DN＝AM＝a，CN＝DM＝a，MN＝DM﹣DN＝a﹣a＝a，运用勾股定理即可求得答案．

【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝2a，

∴∠BAD＝∠ADC＝90°，AD＝CD＝AB＝2a，

∵BE＝AE，AE+BE＝AB，

∴AE＝AB＝a，

在Rt△ADE中，DE＝＝＝a，

∵AM⊥DE，CN⊥DE，

∴∠AMD＝∠DNC＝∠CNM＝90°，

∵∠ADM＝∠EDA，

∴△DAM∽△DEA，

∴＝＝，即＝＝，

∴AM＝a，DM＝a，

∵∠ADM+∠CDN＝∠DCN+∠CDN＝90°，

∴∠ADM＝∠DCN，

在△ADM和△DCN中，

，

∴△ADM≌△DCN（AAS），

∴DN＝AM＝a，CN＝DM＝a，

∴MN＝DM﹣DN＝a﹣a＝a，

在Rt△CMN中，CM＝＝＝a；

故选：D．

4．（2022•金华模拟）在矩形ABCD中，AB＝4，点P是直线CD上（不与点C重合）的动点，连结BP，过点B作

BP