（寒假）2024-2025年高二数学 寒假巩固讲义+随堂检测 第10课 第10课 数列的通项公式及求和（原卷版）.docx

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第10课数列的通项公式及求和

数列的通项公式

1、正确选用方法求数列的通项公式

(1)对于递推关系式可转化为an＋1＝an＋f(n)的数列，通常采用累加法(逐差相加法)求其通项公式．

(2)对于递推关系式可转化为eq\f(an＋1,an)＝f(n)的数列，并且容易求数列{f(n)}前n项的积时，采用累乘法求数列{an}的通项公式．

(3)对于递推关系式形如an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)的数列，采用构造法求数列的通项．

2、避免2种失误

(1)利用累乘法，易出现两个方面的问题：一是在连乘的式子中只写到eq\f(a2,a1)，漏掉a1而导致错误；二是根据连乘求出an之后，不注意检验a1是否成立．

(2)利用构造法求解时应注意数列的首项的正确求解以及准确确定最后一个式子的形式．

考向一有an递推关系研究数列的通项

【例1】已知数列的前n项和为，若，且，则下列说法确的是（）

A.为单调递增数列B.

C.D.当时，数列的前n项和满足

【变式1-1】已知正项数列满足．

求数列的通项公式；

方法总结：给出了两种不同形式的递推关系，经常采取其它方法：取倒数后，相邻两项的差是一个等比数列，迭加即可；变形为eq\f(an＋1,an)＝eq\f(3n－2,3n＋2)，再用累乘处理，累加、累乘是递推数列的基本而常用的方法，考查我们的观察、变形和转化的能力，需要牢固掌握．

考向二由Sn与an的递推关系求通项公式

【例2】已知各项均为正数的数列的首项，前项和为，且．

求数列的通项公式；

【变式2-1】已知数列满足，，则的前n项和为___________.

方法总结：an与Sn关系的应用

(1)仅含有Sn的递推数列或既含有Sn又含有an的递推数列，一般利用公式Sn－Sn－1＝an(n≥2)实施消元法，将递推关系转化为仅含an的关系式或仅含Sn的关系式，即“二者消元留一象”．

(2)究竟消去an留Sn好，还是消去Sn留an好？取决于消元后的代数式经过恒等变形后能否得到简单可求的数列关系，如等差数列关系或等比数列关系，若消去an留Sn可以得到简单可求的数列关系，那么就应当消去an留Sn，否则就尝试消去Sn留an，即“何知去留谁更好，变形易把关系找”．

(3)值得一提的是：数列通项公式an求出后，还需要验证数列首项a1是否也满足通项公式，即“通项求出莫疏忽，验证首项满足否”。

考向三构造等差、等比数列研究通项

【例3】已知数列满足，，．

(1)证明：是等比数列；

(2)证明：存在两个等比数列，，使得成立．

【变式3-1】已知数列，满足，，且，

（1）求，的值，并证明数列是等比数列；

（2）求数列，的通项公式．

方法总结：构造等差、等比数列求通项，常见形式一：an＋1＝pan＋q(p，q为常数，p≠0，p≠1)，常利用待定系数构造，可化为an＋1＋x＝p(an＋x)，从而解出x＝eq\f(q,p－1).

常见形式二：an＋1＝pan＋qn(p，q为常数，p≠0，p≠1，q≠0)，可以通过两边同时除以qn＋1，得eq\f(an＋1,qn＋1)＝eq\f(p,q)·eq\f(an,qn)＋eq\f(1,q)，换元bn＝eq\f(an,qn)，即转化形式一．

数列的求和

1．公式法

(1)等差数列{an}的前n项和Sn＝eq\f(n?a1＋an?,2)＝na1＋eq\f(n?n－1?d,2).

推导方法：倒序相加法．

(2)等比数列{an}的前n项和Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1?1－qn?,1－q)，q≠1.))

推导方法：乘公比，错位相减法．

(3)一些常见的数列的前n项和：

①1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(n?n＋1?,2)；

②2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；

③1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.

2．几种数列求和的常用方法

(1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．

(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．

(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解．

(4)倒序相加法：如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．

3、常见的裂项技巧

①eq\f(1,n?n＋1?)＝eq