高中数学——椭圆的标准方程(基础小题)(教案).docx

椭圆的标准方程

一、单选题

1．已知椭圆的焦距是6，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是（）

A．B．C．D．或

2．已知，是两个定点，且（是正常数），动点满足，则动点的轨迹是（）

A．椭圆B．线段C．椭圆或线段D．直线

3．若直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为（）

A．B．C．或D．以上答案都不对

4．已知点，椭圆与直线交于点，，则的周长为（）

A．B．8C．4D．

5．已知椭圆的焦点在轴上，焦距为4，则等于（）

A．8B．7C．6D．5

6．已知为椭圆上一点，若到一个焦点的距离为1，则到另一个焦点的距离为（）

A．3B．5C．8D．12

二、填空题

7．已知椭圆的中心在原点，长半轴长为，短半轴长为，且经过点，，则椭圆的标准方程为___________．

8．与椭圆有相同离心率且经过点的椭圆标准方程为________．

9．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3，0)，则椭圆的标准方程为______________．

三、解答题

10．求适合下列条件的椭圆的标准方程．

（1）焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)；

（2）两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭圆经过点；

（3）经过点P，Q.

参考答案

1．D

【分析】

根据题意得到，，求得，再结合焦点位置，即可求得椭圆的标准方程.

【详解】

由题意，椭圆的焦距是6，可得，即，

又由椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，可得，即，

则，

当焦点可以在轴上时，椭圆的方程为；

当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的方程为.

故选：D．

2．C

【分析】

比较与的大小关系，结合椭圆定义可得答案.

【详解】

因为（当且仅当时，等号成立），所以.

当时，，此时动点的轨迹是椭圆；

当时，，此时动点的轨迹是线段，

故选:C.

3．C

【分析】

由直线与坐标轴交点得椭圆的一个顶点和焦点坐标，分类讨论可得椭圆方程．

【详解】

直线与坐标轴的交点分别为，．由题意知当焦点在轴上时，，，故，则所求椭圆的标准方程为．当焦点在轴上时，，，故，则所求椭圆的标准方程为．

故选：C．

4．B

【分析】

由直线方程得直线过椭圆的一个焦点，而是椭圆的另一个焦点，根据椭圆定义可得三角形周长．

【详解】

设椭圆的左焦点为，由题意得与是椭圆的焦点，则直线过椭圆的左焦点，且，所以的周长为．

故选：B．

5．A

【分析】

根据方程表示椭圆，及焦点的位置得不等关系，从而得出结论．

【详解】

解：椭圆的焦点在轴上，

，即，

且，，

，

又焦距为4，，得．

故选：．

6．B

【分析】

利用椭圆的定义求解.

【详解】

椭圆的长轴长为，

由椭圆的定义得：，

又因为到一个焦点的距离为1，即，

所以到另一个焦点的距离为，

故选：B

7．或

【分析】

分类讨论，焦点在轴上时，是长轴端点，焦点在轴上时，是短轴端点，由此可得椭圆方程．

【详解】

当焦点在轴上时，设椭圆方程为．由椭圆过点，知，又，得，，故椭圆的标准方程为．

当焦点在轴上时，设椭圆方程为．由椭圆过点，知，又，得，，故椭圆的标准方程为．

综上，椭圆的标准方程为或．

故答案为：或．

8．或

【分析】

分焦点在轴上两种情况，结合基本量间的关系计算求解即可

【详解】

方法一∵，若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为，则，从而，

又，∴m2＝8，n2＝6.

∴所求椭圆的标准方程为.

若焦点在y轴上，设椭圆的方程为，

则，且，解得

故所求椭圆的标准方程为

故答案为：或

9．.

【分析】

由已知条件可得，根据焦点的位置可得答案.

【详解】

由题意得，

解得，

因为椭圆的焦点在x轴上，

所以椭圆的标准方程为.

故答案为：.

10．（1）；（2）；（3）.

【分析】

（1）焦点在轴上，可设椭圆的标准方程为，由于椭圆经过两个点和，代入椭圆方程解出即可；

（2）焦点在轴上，可设椭圆的标准方程为，由于椭圆经过两个点和，代入椭圆方程解出即可；

（3）根据题意，设椭圆的方程为，将、的坐标代入计算可得、的值，即可得椭圆的方程，变形为标准方程的形式即可得答案．

【详解】

(1)焦点在轴上，可设椭圆的标准方程为，

椭圆经过两个点和，

，解得．

椭圆的标准方程为；

（2）椭圆的焦点在纵轴上，．

由椭圆的定义，椭圆上一点到两焦点距离之和等于．，，

椭圆方程是；

（3）根据题意，设椭圆的方程为，

又由椭圆经过和，则有，解可得，；

则要求椭圆的方程为，

即其标准方程为．