4.2.1-4.2.2两角和与差的余弦、正弦、正切公式及其应用 课件（共33张PPT） -2024-2025学年高中数学北师大版（2019）必修第二册.pptxVIP

4.2.1-4.2.2两角和与差的余弦、正弦、正切公式及其应用北师大版（2019）必修第二册第四章三角恒等变换

学习目标能利用Cα±β公式、诱导公式等推导两角和与差的正弦、正切公式．02会用向量的数量积推导出两角和与差的余弦公式．01熟记两角和与差的三角函数公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．03

思考：cos15°＝cos(45°－30°)，判断cos(45°－30°)＝cos45°－cos30°是否成立?cos(45°－30°)＝cos15°＞0，cos45°－cos30°＜0，故cos(45°－30°)＝cos45°－cos30°不成立.

问题1：已知任意角α，β的正弦、余弦，能推出α－β的余弦吗?(可借助向量求解)因为余弦函数是偶函数，所以可以只讨论α≥β.如图，设角α，β的终边与单位圆的交点分别记为P，Q，则点P和点Q的坐标分别为(cosα，sinα)和(cosβ，sinβ)，如果0≤α－β≤π，那么可以用向量的数量积求cos(α－β)，?

??????

思考：刚才的解答是否有不足之处？????????

?问题1公式Cα－β在结构上有什么特点？①同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦；②将所得的积相加．问题2两角差的余弦公式的适用条件是什么？公式中的α，β都是任意角，可以为常量，也可以为变角．?

?????这是两角和的余弦公式，记作Cα＋β.

问题1你能根据余弦两角和差的公式的结构，总结它们的记忆口诀吗？余余正正，符号相反．①“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦问题2如何利用两角差的余弦和两角和的余弦公式求cos15°？因为15°＝60°－45°，所以可用两角差的余弦公式求解．??②“符号相反”表示展开后的两项之间的连接符号与展开前两角之间的符号相反

?法1：????法2：????

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知识回顾填空.（1）sin(－α)＝，cos(－α)＝，tan(－α)＝；（2）＝，＝；（3）cos(α－β)＝，cos(α＋β)＝.－sinαcosα－tanαcosαsinαcosαcosβ＋sinαsinβcosαcosβ－sinαsinβ

问题1由公式Cα－β或Cα＋β可求sin75°的值吗？可以，∵sin75°＝sin(90°－15°)＝cos15°＝cos(45°－30°).问题2由公式Cα±β可以得到sin(α＋β)的公式吗？可以，sin(α＋β)??尝试推出α－β的正弦公式.sin(α－β)＝sin[α＋(－β)]＝sinαcos(－β)＋cosαsin(－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.

问题1公式Sα±β的适用条件是什么？公式中的α、β是任意角，可以是具体的角，也可以是表示角的代数式．问题2公式Sα－β，Sα＋β，可记为什么？正余余正，符号相同??②“符号相反”表示展开后的两项之间的连接符号与展开前两角之间的符号相同①“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦

问题1前面学习的同角三角函数关系中，tanα，sinα，cosα的关系怎样？问题2利用该关系及两角和的正、余弦公式，能用tanα和tanβ表示tan(α＋β)和tan(α－β)？?①tan(α＋β)?②tan(α－β)?

问题两角和与差的正切公式对任意α，β均成立吗？不是对任意α，β均成立．tan(α＋β)＝，记作Tα＋β．?tan(α－β)＝，记作Tα－β．?①在两角和的正切公式中，使用条件是：α，β，α＋β≠kπ＋，（k∈Z）；?②在两角差的正切公式中，使用条件是：α，β，α－β≠kπ＋，（k∈Z）．?

例3已知