2025年新高考数学重难点02 空间角度与距离十一大题型汇总（原卷版）.docx

重难点02空间角度与距离十一大题型汇总

技巧一.计算两点间的距离的两种方法

(1)利用|a|2＝a·a，通过向量运算求|a|，如求A，B两点间的距离，一般用|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝eq\r(\o(|\o(AB,\s\up7(→))|2))＝eq\r(\o(\o(AB,\s\up7(→))·\o(AB,\s\up7(→))))求解．

(2)用坐标法求向量的长度(或两点间距离)，此法适用于求解的图形适宜建立空间直角坐标系时

技巧二.用向量法求点线距的一般步骤

建立空间直角坐标系；

（2）求直线的方向向量；

（3）计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影长；

（4）利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化

技巧三.用向量法求点面距的步骤

建系：建立恰当的空间直角坐标系；

求点坐标：写出（求出）相关点的坐标；

（3）求向量：求出相关向量的坐标（AP，α内两个不共线向量，平面α的法向量n）；

（4）求距离d=|AP

技巧四.求直线与平面间的距离，

往往转化为点到平面的距离求解，且这个点要适当选取，以求解最为简单为准则，求直线到平面的距离的题目不多，因直线到平面的距离可以用点到平面的距离求解，但在求点到平面的距离时有时用直线到平面的距离进行过渡.

技巧五.求线面角的两种思路

（1）线面角转化为线线角．根据直线与平面所成角的定义，确定出待求角，转化为直线的夹角来求解，此时要注意两直线夹角的取值范围.

（2）向量法．

方法一：设直线PA的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线PA与平面α所成的角为θ（θ∈[0,π2]），α与n的夹角为φ，则sinθ=lcosφ|=

方法二：设直线PA的方向向量为a，直线PA在平面α内的投影的方向向量为b，

则直线PA与平面α所成的角θ满足cosθ=|cosa，b|

技巧六.求面面角的步骤

第一步首先根据已知条件建立适当的空间直角坐标系并标出相应点的空间坐标；

第二步然后根据已知条件求出各自所求平面的法向量；

第三步由向量的数量积计算公式即可得出结论.

题型1两点距

【例题1】（2023春·福建泉州·高二校联考期末）空间直角坐标系O-xyz中，A(1,3,0)，B(0,3,1)，C(1,0,3)，点P在平面ABC内，且OP⊥平面

A．5 B．7 C．263 D．

【变式1-1】1.（2022秋·山西运城·高二山西省运城中学校校联考期中）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC是边长为23的正三角形，AA1=7，顶点A

A．72 B．2 C．6 D．

【变式1-1】2.（2022秋·浙江宁波·高二校联考期末）如图，正四棱锥P-ABCD的棱长均为2，点E为侧棱PD的中点．若点M，N分别为直线AB，CE上的动点，则MN的最小值为

【变式1-1】3.（2023秋·内蒙古包头·高二统考期末）如图，已知四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD,PD=CD，点M

????

(1)证明：MN∥平面PDC；

(2)求M、N距离的最小值，并求此时二面角

【变式1-1】4.（2023春·高二校考期末）如图，四边形ABCD和三角形ADE所在平面互相垂直，AB//CD，AB⊥BC，∠DAB=60°，AB=AD=4

??

(1)求证：CD//

(2)若EF=CD，求二面角

(3)在线段BC上是否存在点M使得AM⊥EM？若存在，求BM

【变式1-1】5.（2023春·云南楚雄·高二校考期末）如图，已知SA垂直于梯形ABCD所在的平面，矩形SADE的对角线交于点F，G为SB的中点，∠ABC=∠BAD

??

(1)求证：BD//平面AEG

(2)求平面SCD与平面ESD所成锐二面角的余弦值；

(3)在线段EG上是否存在一点H，使得BH与平面SCD所成角的大小为π6？若存在，求出GH的长：若不存在，

题型2点线距

【例题2】（2023秋·吉林长春·高二长春外国语学校校考阶段练习）如图，ABCD-EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足AP=35AB+

??

A．34 B．45 C．56

【变式2-1】1.（2023春·江苏南京·高二统考期末）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥

??

(1)求证：AB1//

(2)求点B到直线C1M

【变式2-1】2.（多选）（2023春·福建莆田·高二统考期末）布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1）.把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则

A．QC

B．若M为线段CQ上的一个动点，则BM?BD

C．点P到直线CQ的距离是17

D．