2025年新高考数学重难点08 圆的切线相关十二大题型汇总（原卷版）.docx

重难点08圆的切线相关十二大题型汇总

技巧一.过圆上一点的圆的切线

①过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2.

②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.

=3\*GB3③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.

技巧二.过圆外一点的圆的切线

过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0.

技巧.解决有关弦长问题的常用方法及结论

几何法

如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2eq\r(r2－d2)

代数法

若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(?xA＋xB?2－4xAxB)＝eq\r(1＋\f(1,k2))·|yA－yB|(其中k≠0)．特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB|，当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距构成直角三角形，在解题时，要注意把它和点到直线的距离公式结合起来使用

技巧三.切线长

①从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，切线长为eq\r(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F).

②两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b＝eq\f(2ar,d).

注意：过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数．

技巧四.圆与圆相交时

1.公共弦直线的方程：两个交点所在的直线即公共弦，其方程等于两个圆方程相减

2.圆与圆相交时，求交点坐标:

(1)联立两个圆的方程，相减得到公共弦的直线

(2)公共弦直线与其中一个圆的方程再进行联立，解出交点的坐标

3.求公共弦的弦长

方法一：求出交点，利用两点间的距离

方法二：求出公共弦直线方程，利用其中一个圆的圆心，求其圆心到公共弦直线的距离d，再利用弦长公式

题型1圆上一点求圆的切线问题

【例题1】（2023·江苏·高二专题练习）已知点M(1??,3)在圆C:x2+y2=

A．30° B．60° C．120°

【变式1-1】1.（2023秋·全国·高二期中）圆x2+y2-

A．x+3y

C．x-3y

【变式1-1】2.（2023秋·全国·高二期中）圆x2+y2-

A．x+3y

C．x-3y

【变式1-1】3.（2023秋·河北沧州·高二泊头市第一中学校考阶段练习）已知实数x,y满足曲线C的方程x2+

A．x2+

B．y+1x

C．x-y

D．过点0,2作曲线C的切线，则切线方程为

【变式1-1】4.（2023·全国·高二专题练习）过点P1,1作圆E:x

A．x+y-

C．x-2y+1=0 D

【变式1-1】5.（多选）（2023秋·高二课时练习）下列说法正确的是（????）

A．过点(1,3)，在x轴上的截距与在y轴上的截距相等的直线有两条

B．过点P(2,1)作圆x2

C．经过点P(1,1)，倾斜角为θ的直线方程为

D．直线2x-

题型2圆外一点求圆的切线问题

【例题2】（2023·江苏·高二专题练习）过点(-4,3)的圆(x+3)2+

【变式2-1】1.（2023秋·广西贵港·高二统考期末）已知圆C:

(1)若过点P(-1,1)向圆C作切线l，求切线l

(2)若Q为直线m:2x-y+5=0上的动点，M是圆C上的动点，定点

【变式2-1】2.（2023秋·高二课前预习）过点P(2,1)作圆O:x2+y

【变式2-1】3.（2023秋·云南大理·高二云南省下关第一中学校考阶段练习）已知点A4,4,B0,3

(1)若圆C的圆心坐标为C3,2，过点A作圆C

(2)若圆C的圆心C在直线l:y=x-1上，且圆C上存在点M，使MB=2MO

【变式2-1】4.（2023·全国·高二专题练习）已知圆E经过点A(0,1)，B(1,4)，且________.从下列3个条件中选取一个，补充在上面的横线处，并解答.①过直线x-5y-5=0与直线x-2y-8=0的交点C

(1)求圆E的方程；

(2)求过点P(10,11)的圆E的切线方程

题型3平行垂直与切线问题

【例题3】（2022秋·广东潮州·高二统考期末）在圆(x-1)2+y2

A．2 B．12 C．-12

【变式3-1】1.（2020秋·甘肃武威