高一数学培优内切球与外接球-讲义（教师版）.pdf

内切球与外接球

一、课堂目标

1．掌握外接球的几种模型，并熟练掌握求几何体外接球半径的方法，会求解相关数学问题．

2．熟练掌握几何体内切球半径的求法，并会求解相关数学问题．

【备注】【教师指导】

内切球与外接球属于考试重点考查的内容，难度比较大，但是近几年高考几乎每年都进行

考查，要求学生必须掌握常考题型.

1.本讲的重点是掌握外接球的几种模型，并熟练求解几何体外接球的半径；掌握内切球相

关公式，并熟练求解几何体内切球的半径.

2.本讲的相关知识是空间几何体，球的表面积与体积公式.

二、知识讲解

1.外接球问题

知识精讲

（1）外接球定义

指一个空间几何图形的外接球，对于旋转体和多面体，外接球有不同的定义，广义理解为球将几何体包

围，且几何体的顶点和弧面在此球上，正多面体各顶点在同一球面上，这个球叫做正多面体的外接球.

（2）外接球模型

模型一：汉堡模型

1

②和③可以通过补形转化为①.

适用几何体：圆柱、直棱柱、一条侧棱垂直地面的棱锥

解题思路：找底面外接圆半径，找高

计算公式：

经典例题

1.已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）．

A.B.

C.D.

【备注】【教师指导】

利用，先球圆柱底面圆的半径，再求圆柱的体积.

【答案】B

【解析】

由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径，则圆柱

体体积，故选．

【标注】【知识点】空间几何体的体积

【素养】直观想象

巩固练习

2.已知直三棱柱的个顶点都在球的球面上，若，，，

，则球的半径为（）．

2

A.B.

C.D.

【答案】C

【解析】方法一：如图，∵，，，

∴，

连接与中点，，

∵为直角三角形，

∴且，，

．

方法二：因为三棱柱的个顶点都在球的球面上，，，

，，

所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，

的外心是斜边的中点，上下底面的中心连线垂直底面，其中点是球心，

则侧面经过球的球心，球的直径是侧面的对角线的长，

因为，，，，

所以球的直径为：．

所以半径为．

故选．

【标注】【知识点】空间几何体的体积

3.如图，半径为的球中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差

是．

3

【答案】

【解析】如图，设球一条半径与圆柱相应的母线夹