中考数学一轮复习知识梳理+考点精讲专题17 等腰三角形与直角三角形（解析版）.doc

专题17等腰三角形与直角三角形

中考命题解读

中考命题解读

纵观近几年全国各地的中考试题，三角形常出现的知识点有三角形的性质和概念，以及三角形的性质与断定．今后的命题趋势仍以考察以上知识点为主，以填空题和选择题为主要考察形式，结合勾股定理等。

考标要求

考标要求

1.了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的有关概念，

2.掌握等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质，掌握一个三角形是等腰三角形、等边三角形、直角三角形的条件.

3.掌握勾股定理，会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形.

考点精讲

考点精讲

考点1：等腰三角形的性质与判定

性质

等腰三角形的两个底角度数相等

等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“等腰三角形三线合一”）

等腰三角形是轴对称图形，有2条对称轴

判定

有两条边相等的三角形的等腰三角形

有两个角相等的三角形是等腰三角形

面积公式

，其中a是底边常，hs是底边上的高

考点2：等边三角形的性质与判定

性质

三条边相等

三个内角相等，且每个内角都等于60°

等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴

判定

三条边都相等的三角形是等边三角形

三个角相等的三角形是等边三角形

有一个角的是60°的等腰三角形是等边三角形

面积公式

是等边三角形的边长，h是任意边上的高

考点3：直角三角形的性质与判定

性质

两锐角之和等于90°

斜边上的中线等于斜边的一半

30°角所对的直角边等于斜边的一半

若有一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角等于30°（应用时需先证明）

勾股定理：若直角三角形的两直角边分别为a，b,斜边为c,则

判定

有一个角为90°的三角形时直角三角形

有两个角的和时90°的三角形是直角三角形

一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形

勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a,b,c若满足

，那么这个三角形为直角三角形。

面积公式

，其中a是底边常，hs是底边上的高

母题精讲

母题精讲

【典例1】（2022?桂林）如图，在△ABC中，∠B＝22.5°，∠C＝45°，若AC＝2，则△ABC的面积是（）

A． B．1+ C．2 D．2+

【答案】D

【解答】解：如图，过点A作AD⊥AC于A，交BC于D，过点A作AE⊥BC于E，

∵∠C＝45°，

∴△ADC是等腰直角三角形，

∴AD＝AC＝2，∠ADC＝45°，CD＝AC＝2，

∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝22.5°，

∴∠DAB＝22.5°，

∴∠B＝∠DAB，

∴AD＝BD＝2，

∵AD＝AC，AE⊥CD，

∴DE＝CE，

∴AE＝CD＝，

∴△ABC的面积＝?BC?AE＝××（2+2）＝2+．

故选：D．

【典例2】（2021?长沙）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝CD，延长BC至E，使得CE＝CA，连接AE．

（1）求证：∠B＝∠ACB；

（2）若AB＝5，AD＝4，求△ABE的周长和面积．

【解答】解：（1）证明：∵AD⊥BC，BD＝CD，

∴AD是BC的中垂线，

∴AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB；

（2）在Rt△ADB中，BD＝＝＝3，

∴BD＝CD＝3，AC＝AB＝CE＝5，

∴BE＝2BD+CE＝2×3+5＝11，

在Rt△ADE中，AE＝＝＝4，

∴C△ABE＝AB+BE+AE＝5+11+4＝16+4，

S△ABE＝＝＝22．

【典例3】（2022春?丹江口市期末）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门的意思）一尺，不合二，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），求门槛AB的长．

【解答】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：

由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，

设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，

则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝CD＝1寸，

∴AE＝（r﹣1）寸，

在Rt△ADE中，

AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，

解得：r＝50.5，

∴2r＝101（寸），

∴AB＝101寸，

即门槛AB的长为101寸．

真题精选

真题精选

命题1

命题1等腰三角形的性质

1．（2022?梧州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F，则下列结论错误的是（）

A．∠ADC＝90° B．DE＝DF C．AD＝BC D．BD＝CD

【答案】C

【解答】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，

∴AD⊥BC，BD＝CD，∠B＝∠C，

∴∠ADC＝90°，