6.4.3 余弦定理、正弦定理1-(人教A版2019必修第二册)(学生版).docx

余弦定理、正弦定理1

1正弦定理

①正弦定理

asinA=bsinB

②变形

(1)a+b+c

(2)化边为角

a=2Rsin

a:b:c=sinA:sinB:sinC,

a

(3)化角为边

sinA=a2R,sinB=

理由a?

理由

a

a

a

有角有边的等式

化为

只含边的等式

a?

等式(?)中含有三个式子(a?sinB、c?sinC、b?sinC)，每个式子中都有一个sin值，并且它们的次数都是1，则可以把sinB、sinC直接转化为对应的边b、c！

同理a?sinB+

思考以下转化是否正确

(1)a?sinB+c?sinC=b?a?b+c?c=b(错)，

(2)sinA?sinB+sinB?sinC=sin2

④利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题

(1)已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；

Eg在△ABC，内角A,B,C所对的边分别是a，b，c，B=30°，A=45°，b=2，则边a=

(2)已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边.

Eg在△ABC，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,A=60°,c=2，a=3

(三角形中有一组对边和对角就可考虑正弦定理)

⑤三角形解的个数问题

已知两边a、b和其中一边的对角A，不能确定三角形的形状，此时三角形解可能是无解、一解、两解，要分类讨论.

A是锐角

A是直角或钝角

a≥b

absinA

a=bsinA

bsinAab

a≥b

ab

一解

无解

一解

两解

一解

无解

Eg求满足a=5,b=4,A=60°的三角形△ABC个数.

方法1利用正弦定理求解

由正弦定理可得：5sin60°=4

∵ab，且A为锐角，∴B有一解，故三角形只有一解；

方法2图像法

先做出角∠CAB=60°,过点C作CD⊥BC,此时可知CD=235，以

2面积公式

S?ABC=

3余弦定理

①余弦定理

a

②变形

cosA=

③利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题

(1)已知三边，可求三个角；

Eg在△ABC中，若a=4,b=3,c=13，则角C=

(2)已知两边和一角，求第三边和其他两个角.

Eg在△ABC中，A=30°,b=3,c=1，则a=.(角

在△ABC中，A=30°,b=33，a=3,则边c=.(角A不为两边的夹角)

④三角形类型的判断

∠A=π

∠Aπ

∠Aπ

⑤射影定理

a=c?cosB+b?cosC

b=a?cosC+c?cosA

c=b?cosA+a?cosB

?

【题型一】正弦定理、余弦定理解单个三角形

【典题1】在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a=2，b=22，且三角形有两解，则角A的取值范围是.

【典题2】在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，且面积为S，若bcosC+ccosB=2acosA，S=14(b2+a

【典题3】△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c=2，∠C=π3，且

A．b=2a B．△ABC的周长为2+23

C．△ABC的面积为233 D．△ABC

巩固练习

1(★)在△ABC中，AB=2，BC=3，A=60°，则角C的值为．

2(★)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=3，A=30°，b=33，则c值为．

3(★)在△ABC中，若sinA:sinB:sinC=2:7:3，则△ABC的最大内角与最小内角的和为

4(★)【多选题】已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，根据下列条件解三角形，有两解的是()

A．a=2,b=2,B=120° B．

C．b=3,c=3,B=60° D．a=2

5(★★)【多选题】下列命题中，正确的是()

A．在△ABC中，AB，则sinAsinB

B．在锐角△ABC中，不等式sinAcosB恒成立

C．在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC必是等腰直角三角形

D．在△ABC中，若B=60°，b2=ac，则△ABC必是等边三角形

6(★★)【多选题】在△ABC