高二数学上学期空间向量的应用(学生版).pdf

空间向量的应用

一、用空间向量研究直线、平面的位置关系

1.利用空间向量证明直线与直线的平行或垂直

（1）方向向量：一般地，如果是空间中的一条直线，是空间中的一个非零向量，且表示的有向线

段所在的直线与平行或重合，则称是直线的一个方向向量.

（2）设直线和的方向向量分别为和，则有：

经典例题

1.已知向量，分别是直线，的方向向量，若，则（）．

A.，B.，C.，D.，

2.如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，，分别是

，的中点．

（1）求证：．

巩固练习

1

1.的方向向量为，的方向向量为，若，则等于（）．

A.B.C.D.

2.如图所示，在正方体中，为的中点．

（1）求证：．

（2）求证：．

2.利用空间向量证明直线与平面平行或垂直

（1）法向量

①定义：如果是空间中的一个平面，是空间中的一个非零向量，且表示的有向线段所在的直线与

平面垂直，则称为平面的一个法向量．此时，也称与平面垂直，记作．

②性质：

（i）如果直线垂直平面，则直线的任意一个方向向量都是平面的一个法向量；

（ii）如果是平面的一个法向量，则对任意的实数，空间向量也是平面的一个法向量，而且

平面的任意两个法向量都平行；

（iii）如果为平面的一个法向量，为平面上一个已知的点，则对于平面上任意一点，向量一

定与向量垂直，即，从而可知平面的位置可由和唯一确定.

（2）利用空间向量证明直线与平面平行、垂直

设是平面的一个法向量，是直线的方向向量，则：

；

或.

2

经典例题

1.如图，在正方体中，为的中点，为的中点．

（1）求证：平面．

2.已知点，，，点，若平面，则点的坐标为（）．

A.B.C.D.

3.在正方体中，，分别是，的中点，

求证：平面．

3

巩固练习

1.如图，在三棱锥中，底面，，点，，分别为棱，，的中

点，是线段的中点，，．

（1）求证：平面．

2.如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，

，分别是，的中点．证明：平面．

4

3.利用空间向量证明平面与平面平行或垂直

设平面的法向量分别是，则

；

或与重合.