堂课分离变量法.pptVIP

分离变量法（三）

拉普拉斯方程散热片的横截面为一矩形[0,a]×[0,b]，它的一边y=b处于较高的温度u0，其它三边保持较低的温度u1。求横截面上的稳恒的温度分布。

解：

因非齐次方程的解经叠加以后一般不再是原方程的解，所以不能用分离变量法直接求解非齐次方程的定解问题，在这里，给出求解非齐次方程定解问题的常用方法。非齐次方程的解法如果要研究长为l的弦，两端固定在x=0,x=l两点，在受到强迫力的作用下所产生的强迫振动现象，则归结为求解定解问题。

方程是非齐次的，是否可以用分离变量法？非齐次方程的求解思路用分解原理得出对应的齐次问题解出齐次问题求出任意非齐次特解叠加成非齐次解思考在这个定解问题中，弦的振动是由部分干扰引起的，即强迫力和初始状态，受此启发，利用叠加原理，可设上述定解问题的解。

令：有界均匀弦强迫振动方程的试探解法

初始状态引起的弦振动问题带入方程后得令：

未知函数T的微分方程为其解为

令：为什么？固有值固有函数待定函数把自由项f(x,t)也按固有函数在(0,l)内展开为以下级数：由强迫力引起的弦振动：

这是二阶常系数线性非齐次常微分方程的初值问题，我们可以用参数变易法求解这个定解问题。上述方程的对应的齐次方程通解为：

的通解为：可设其中C1(t),C2(t)为待定函数：令

即C1(t),C2(t)满足带入公式中得

得：从0到t积分得：

由初始条件得：

上面介绍的求解非齐次偏微分方程定解问题的方法适用于弦振动以外的定解问题，在使用时，应根据问题的特点及对解题的方法作适当的选取。

热传导方程的定解问题（有热源的第一边值问题）设1确定固有函数（由齐次方程确定）

2确定函数Tn(t)这个解适合边界条件，但不适合方程和初始条件。同样将f(x,t)等函数进行傅里叶级数展开：带入方程得：

这是一个一阶非齐次常微分方程的初值问题，将问题的解分解为齐次方程+非齐次初值问题与非齐次方程+齐次初值问题，即：

解为：齐次方程：

带入方程中得然后，从0—t积分，利用齐次初始条件：非齐次方程零初值问题，利用参数变易法求解。令：

经典的分离变量法，固有函数法齐次方程+齐次边界条件：固有函数法（试探解法）非齐次方程+齐次边界条件：？？？？？？？？？非齐次方程+非齐次边界条件：总的原则是将边界条件齐次化。

波动方程的定解问题logo将非齐次边界条件化为齐次边界条件：令

使得则有w满足非齐次边界条件：为了简单期间，取w为x的一次幂，有带入边界条件后可得：则：

代入波动方程：即：

按齐次边界条件的定解问题求解后得v这样，原定解问题可转化为齐次边界条件的定解问题：

01w可以取02w可以取03w可以取04w可以边界条件非齐次，转换为齐次边界条件。01非齐次方程，齐次边界条件。02齐次方程，齐次边界条件分离变量法03非齐次方程，齐次定解条件固有函数法04应用分离变量法求解定解问题的步骤05定解问题06

例求下列定解问题解：令

例求定解问题解：令

例求定解问题解：令

例求定解问题解：令

物理意义：设有一条长为的导热细杆，密度均匀，它的侧面是绝热的，沿着杆的侧面没有热源。在左端点处的温度为零度，而在右端处把热量传给周围的介质，介质的温度为零。杆的初始温度为已知，求杆内温度的变化规律。定解问题：

求满足齐次方程和齐次边界条件的变量分离形式的解：01边界条件怎样变化？02左端是t的函数，右端是x的函数，由此可得只能是常数，记为。03求解的基本步骤04

和得到本征值问题

第一步回顾：X(x)：T(t)：第二步：求解固有值问题和T(t)求解的基本步骤

要解这个固有值问题，我们可以按照的取值分为，和三种情形讨论，得知必须取记得到通解为任意常数。

得到A=0再代入边值条件得代入边值条件为使X(x)为非零解这方程有无穷多个根：

正交性：从得到

第三步：利用初始条件求得定解问题的解为了求出原定解问题的解，还需满足初始条件把所有特解叠加起来，使之满足初始条件，即取代入初始条件得到从而得到定解问题的解

常用本征方程齐次边界条件