信号与系统复习题之冲击响应.ppt

*2.2冲激响应和阶跃响应一、冲激响应由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。h(t)=T[{0},δ(t)]例1描述某系统的微分方程为y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)求其冲激响应h(t)。解根据h(t)的定义有h”(t)+5h’(t)+6h(t)=δ(t)h’(0-)=h(0-)=0先求h’(0+)和h(0+)。考虑h(0+)=h(0-)，由上式可得h(0+)=h(0-)=0,h’(0+)=1+h’(0-)=1对t0时，有h”(t)+5h’(t)+6h(t)=0故系统的冲激响应为一齐次解。微分方程的特征根为-2，-3。故系统的冲激响应为h(t)=(C1e-2t+C2e-3t)ε(t)代入初始条件求得C1=1,C2=-1,所以h(t)=(e-2t-e-3t)ε(t)因方程右端有δ(t)，故利用系数平衡法。h”(t)中含δ(t)，h’(t)含ε(t)，h’(0+)≠h’(0-)，h(t)在t=0连续，即h(0+)=h(0-)。积分得[h’(0+)-h’(0-)]+5[h(0+)-h(0-)]+6=1例2描述某系统的微分方程为y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f”(t)+2f’(t)+3f(t)求其冲激响应h(t)。解根据h(t)的定义有h”(t)+5h’(t)+6h(t)=δ”(t)+2δ’(t)+3δ(t)(1)h’(0-)=h(0-)=0先求h’(0+)和h(0+)。由方程可知，h(t)中含δ(t)故令h(t)=aδ(t)+p1(t)[pi(t)为不含δ(t)的某函数]h’(t)=aδ’(t)+bδ(t)+p2(t)h”(t)=aδ”(t)+bδ’(t)+cδ(t)+p3(t)代入式(1)，有整理得aδ”(t)+bδ’(t)+cδ(t)+p3(t)+5[aδ’(t)+bδ(t)+p2(t)]+6[aδ(t)+p1(t)]=δ”(t)+2δ’(t)+3δ(t)整理得aδ”(t)+(b+5a)δ’(t)+(c+5b+6a)δ(t)+p3(t)+5p2(t)+6p1(t)=δ”(t)+2δ’(t)+3δ(t)利用δ(t)系数匹配，得a=1，b=-3，c=12所以h(t)=δ(t)+p1(t)（2）h’(t)=δ’(t)-3δ(t)+p2(t)（3）h”(t)=δ”(t)-3δ’(t)+12δ(t)+p3(t)（4）对式(3)从0-到0+积分得h(0+)–h(0-)=–3对式(4)从0-到0+积分得h’(0+)–h’(0-)=12故h(0+)=–3，h’(0+)=12微分方程的特征根为–2，–3。故系统的冲激响应为h(t)=C1e–2t+C2e–3t，t01代入初始条件h(0+)=–3，h’(0+)=122求得C1=3，C2=–6,所以h(t)=3e–2t–6e–3t,t03结合式(2)得h(t)=δ(t)+(3e–2t–6e–3t)ε(t)4对t0时，有h”(t)+5h’(t)+6h(t)=0g(t)=T[ε(t)，{0}]5由于δ(t)与ε(t)为微积分关系，故6二、阶跃响应01例3如图所示的LTI系统，求其阶跃响应及冲激响应。02解：03列写系统的微分方程（2）求阶跃响应（3）求冲激响应*