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01因为03练习：设02所以。04或分别计算这两个矩阵的，，01和。02例2：证明：对于任何矩阵都有03如何由矩阵范数构造与之相容的向量范数？01定理：设是矩阵范数，则存在向量范数02使得03证明：对于任意的非零向量，定义向量范数，容易验证此定义满足向量范数的三个性质，且04求与之相容的一个向量范数。解：取。设例：已知矩阵范数那么矩阵的谱半径及其性质定义：设，的个特征值为，我们称为矩阵的谱半径。例1：设，那么这里是矩阵的任何一种范数。01例2：设是一个正规矩阵，则02证明：因为03于是有例3：设是上的相容矩阵范数。证明：为可逆矩阵，为的特征值则有例5：如果，则均为可逆矩阵，且矩阵序列与极限这里是矩阵的算子范数。定义：设矩阵序列，其中那么，如果个数列进一步，如果都收敛，则称矩阵序列收敛。我们称矩阵为矩阵序列的极限。那么02例：如果设，其中01定理：矩阵序列收敛于的充分必要条件是01其中为任意一种矩阵范数。02证明：取矩阵范数03必要性：设04那么由定义可知对每一对都有01.从而有02.上式记为03.充分性：设即那么对每一对都有010203故有现在已经证明了定理对于所设的范数成立，如果是另外一种范数，那么由范数的等价性可知010203这样，当时同样可得因此定理对于任意一种范数都成立。同数列的极限运算一样，关于矩阵序列的极限运算也有下面的性质。一个收敛的矩阵序列的极限是唯一的。设设则01设，其中，其中，那么02设，且，均可例1：若对矩阵的某一范数，则逆，则也收敛，且那么例2：已知矩阵序列：则01的充要条件是。02证明：设的Jordan标准形03其中04于是01显然，的充要条件是02又因03其中于是的充要条件是。1因此的充要条件是2例3：设是的相容矩阵范数，则对任意，都有3矩阵的幂级数4定义：设，如果个常数项级数都收敛，则称矩阵级数收敛。如果个个常数项级数都绝对收敛，则称矩阵级数01绝对收敛。02例：如果设，其中03第一章第一节函数第一章第一节函数第五章向量与矩阵的范数
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