高一数学培优平面向量基本定理及坐标表示-讲义（教师版）.pdf

平面向量基本定理及坐标表示

一、课堂目标

1．掌握平面向量基本定理及其应用．

2．掌握平面向量的坐标表示及运算．

3．掌握平面向量的数量积的坐标表示和应用．

【备注】【教师指导】

1.本讲的内容整体上难度不大，但是非常重要.知识非常零碎，由于定理也比较抽象，对于

初学向量的学生还是有一点难度的.对于本讲的学习，要求学生理解概念，熟练掌握公式并

能够灵活应用.本讲的重点是理解平面向量基本定理，掌握平面向量的正交分解及坐标表

示，掌握平面向量的坐标运算及数量积的坐标表示；重点题型平面向量基本定理的应用，

平面向量的坐标运算以及数量积坐标表示.

2.本讲的前置知识是平面向量的概念及运算，后置知识是正、余弦定理.

二、知识讲解

1.平面向量基本定理

知识精讲

（1）平面向量基本定理

如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数

、，使．

（2）基底的定义

把不共线的非零向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

（3）向量的分解

一个平面向量用一组基底、表示成（、）的形式，我们称它为向量的分

解．

知识点睛

①同一平面内，只要是一组不共线的非零向量，都可以作为基底，基底不同，那么同一向量对基底的分

解结果就是不同的．

1

②平面内任意一个向量都可以用该平面内的一组不共线的非零向量线性表示，这是平面向量基本定理的

语言表述．

③若给定了基底，那么分解形式是唯一的，也就是说，当、、给定，则、有唯一解．

④平面向量基本定理还可以稍加拓展为如下结论：

对于平面内任意三个不共线的向量中，任何一个向量都可表示为其余两个向量的线性组合且形式唯一．

经典例题

1.设点是平行四边形两条对角线的交点，给出下列向量组：

①与；②与；③与；④与．

其中可作为该平面其他向量基底的是（）．

A.①②B.①③C.①④D.③④

【备注】【教师指导】

本题是对平面向量基底的考查.作为平面基底的两个向量应满足的条件：

①这两个向量在同一平面内；②两个向量都是非零向量；③这两个向量不共线.

【答案】B

【解析】可作为平面向量基底的两个向量需要满足不共线，

而①③组向量不共线，②④组向量共线，

∴其中可作为该平面其他向量基底的是①③．

故选．

【标注】【知识点】基底的判断

巩固练习

2.已知向量，，是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中，不能作为一组基底的

是（）．

A.，

B.，

C.，

D.，

【答案】C

【解析】因为，

2

所以与共线，故其不能作为基底，

其它选项中的两个向量都不共线，故其可以作为基底．

故选．

【标注】【知识点】基底的判断；平面向量基本定理及其意义

经典例题

3.如图,在中,,,若,则的值为（）．

A.B.C.D.

【备注】【教师指导】

本题主要考查平面向量基本定理.

【答案】A

【解析】

∵,,

∴,

∵