高一数学培优平面向量基本定理及坐标表示-讲义（学生版）.pdf

平面向量基本定理及坐标表示

一、课堂目标

1．掌握平面向量基本定理及其应用．

2．掌握平面向量的坐标表示及运算．

3．掌握平面向量的数量积的坐标表示和应用．

二、知识讲解

1.平面向量基本定理

知识精讲

（1）平面向量基本定理

如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数

、，使．

（2）基底的定义

把不共线的非零向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

（3）向量的分解

一个平面向量用一组基底、表示成（、）的形式，我们称它为向量的分

解．

知识点睛

①同一平面内，只要是一组不共线的非零向量，都可以作为基底，基底不同，那么同一向量对基底的分

解结果就是不同的．

②平面内任意一个向量都可以用该平面内的一组不共线的非零向量线性表示，这是平面向量基本定理的

语言表述．

③若给定了基底，那么分解形式是唯一的，也就是说，当、、给定，则、有唯一解．

④平面向量基本定理还可以稍加拓展为如下结论：

对于平面内任意三个不共线的向量中，任何一个向量都可表示为其余两个向量的线性组合且形式唯一．

经典例题

1

1.设点是平行四边形两条对角线的交点，给出下列向量组：

①与；②与；③与；④与．

其中可作为该平面其他向量基底的是（）．

A.①②B.①③C.①④D.③④

巩固练习

2.已知向量，，是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中，不能作为一组基底的

是（）．

A.，

B.，

C.，

D.，

经典例题

3.如图,在中,,,若,则的值为（）．

A.B.C.D.

巩固练习

4.如图，在中，点在线段上，且，若，则（）．

A.B.C.D.

2.平面向量的正交分解及坐标表示

2

知识精讲

如下图：

在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底．

对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数、，

使得：

这样，平面内的任一向量都可以由、唯一确定，我们把有序数对叫做向量的坐标，

记作：．

由于，则称互相垂直的一组基底为正交基底，在正交基底下的向量分解叫做正交分解．

规定：零向量与任意向量垂直．

3.平面向量的坐标运算

知识精讲

已知向量

（1）平面向量加法运算坐标表示：

（2）平面向量减法运算坐标表示：

即两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）．

（3）平面向量数乘运算坐标表示：

即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．

知识点睛

若，，

根据向量的减法运算，则，

因此，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标．

经典例题

3

5.设平面向量，，则