2025版·《考点一遍过》高考文科数学考点12 导数的应用.pdf

专题12导数的应用

1．导数在研究函数中的应用

（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式

函数一般不超过三次）.

（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式

函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.

2．生活中的优化问题

会利用导数解决某些实际问题.

一、导数与函数的单调性

一般地，在某个区间(a，b)内：

（1）如果f(x)0，函数f(x)在这个区间内单调递增;

（2）如果f(x)0，函数f(x)在这个区间内单调递减;

（3）如果f(x)=0，函数f(x)在这个区间内是常数函数．

注意：（1）利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号；

（2）在某个区间内，f(x)0(f(x)0)是函数f(x)在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是

必要条件.例如，函数f(x)x3在定义域(,)上是增函数，但f(x)3x20.

（3）函数f(x)在(a，b)内单调递增(减)的充要条件是f(x)0(f(x)0)在(a，b)内恒成立，且

f(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，在区间内的个别点处有f(x)0，不影响函

数f(x)在区间内的单调性.

二、利用导数研究函数的极值和最值

1．函数的极值

一般地，对于函数y=f(x)，

（1）若在点x=a处有f′(a)=0，且在点x=a附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则称x=a为f(x)

的极小值点，f(a)叫做函数f(x)的极小值.

（2）若在点x=b处有f(b)=0，且在点x=b附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则称x=b为f(x)

的极大值点，f(b)叫做函数f(x)的极大值．

（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.

2．函数的最值

函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，对于最值，我

们有如下结论：一般地，如果在区间[a,b]上函数yfx的图象是一条连续不断的曲线，那么它必

有最大值与最小值.

设函数fx在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求fx在[a,b]上的最大值与最小值的步骤为：

（1）求fx在(a,b)内的极值；

（2）将函数fx的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的

一个是最小值.

3．函数的最值与极值的关系

（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间[a,b]的整体而言；

（2）在函数的定义区间[a,b]内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个

（或者没有）；

（3）函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；

（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.

三、生活中的优化问题

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.导数是求函数

最值问题的有力工具.

解决优化问题的基本思路是：

考向一利用导数研究函数的单调性

1．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式f(x)0（

f(x)0）在给定区间上恒成立．一般步骤为：

（1）求f′(x)；

（2）确认f′(x)在(a，b)内的符号；

（3）作出结论，f(x)0时为增函数，f(x)0时为减函数．

注意：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．

2．在利用导数求函